118131

Punkt Xi jest punktem wewnętrznym zbioru D, gdy dla wszystkich i= l,...,r, gi (Xi) <

0.

Punkt X2 jest punktem brzegowym zbioru D, gdy istnieje przynajmniej jeden wskaźnik k taki, że gk (X2) = 0 oraz gi (X2) £ 0 dla i * k.

Zbiór D nazywamy regularnym, gdy jest wypukły i posiada punkty wewnętrzne.

Rozpatrzmy zadanie:

f (X) — min

przy warunkach: h<(X) = 0 k=l,...,p w którym f (X) i hk(X) (k = 1,... ,p) są, klasy C¹.

Punkt X* nazywamy rozwiązaniem optymalnym zadania gdy hk(X*) = 0 (k = 1,..., p) oraz dla dowolnego punktu Xi takiego, że hk(Xi) =0, spełniona jest nierówność:    f

(X‘)^f(X,).

Definicja. Funkcją Lagrange'a dla powyższego zadania nazywamy funkcję:

Twierdzenie

Jeżeli punkt X* jest rozwiązaniem wyjściowego zadania i w punkcie tym wektory są liniowo niezależne, to istnieje wektor

U* = [ui*... Up*] taki, że:

S7_xL(X\U~)=0 V_tJL(X’,U") = 0 Twierdzenie

Jeżeli para wektorów X’, U* spełnia warunki:

V_xL(X\U*)= 0 V_uL(X*,U*) = 0

oraz dla każdego wektora Y € R" takiego, że ^h,(x )«>Y=0    (i=l,...,p)

spełniona jest nierówność:    Y^tHlx(X*, U*) Y > 0 ,

to punkt X* jest rozwiązaniem zadania.