120792

skąd

A² - 7A + 10 = 0.

Zatem pierwiastkami charakterystycznymi są:

A, = 2 i A₂ = 5.

Znajdziemy teraz wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym.

, więc równanie AX = A|Af możemy zapisać

• A = 2. Ponieważ X — w postaci:

x\

X2

3	U	•bl	= 2	^X| 1
2	4 J			x2 J

Wykonując mnożenia mamy

T 3x i + 2x2		2x,
[ xj + 4x2		. 2*2 .

skąd otrzymujemy układ równań:

3x, + 2x₂ = 2x, xj + 4x₂ = 2x₂

Przenosimy wszystkie niewiadome na lewą stronę, skąd

X| + 2x₂ = 0 x\ + 2x₂ = 0

Ponieważ obydwa równania są takie same. więc układ równań sprowadza się do równania

xi + 2x₂ = 0.

Przyjmijmy parametr, że x₂ jest parametrem, czyli t = x₂. Skoro A' jest wektorem niezerowym, więc zakładamy.że i 0. Zatem rozwiązaniem układu jest

r x, = —2t

< x₂ = t

I ł jest parametrem różnym od zera

Wobec tego

-2

1

X = t

dla 15^0 lub

dla / ^ 0. Podsumowując otrzymaliśmy rodzinę wektorów własnych postaci X = t\ dla t / 0 odpowiadającycłi wartości własnej A = 2.

2