122531

3. Sonda Cassini, zanim odłączył się od niej próbnik Huyghens, okrążyła Saturna po torze danym równaniem: r = bcoscot • i + csincot • / (b, c, co — stałe dodatnie), (a) Po jakiej krzywej poruszała się sonda? Jej równanie znajdziesz, jeśli zastosujesz metodę podaną na wykładzie 1. (b) Znajdź wektory: prędkości chwilowej v(t) I przyspieszenia a. (c) Oblicz kąty między: wektorami a i u(t) oraz r i v. Naszkicuj tor sondy i wymienione wektory. Rozwiązanie:

a.    Równanie tom u* postaci jawnej (czyli równanie krzywej, po której pomsza się ciało) znajdziemy eliminując czas z równania r = r(t) (to też jest róicnanie tom, ale w postaci parametrycznej; parametrem jest czas). Z podanego równania znajdujemy: x(t)= bcoscot, y(t) = csina>£. Następnie obliczamy: x/b = coscot, y/c = sincot, podnosimy obustronnie do kwadratu i dodajemy stronami,

X2    y*

dostając równanie elipsy :    — 1.

b.    Prędkość: v(t) = ~ = -cobsincot • i + ccocoscot • /,

przyspieszenie: a(t) = ~ = —co²bcoscot ■ T— co²csincot • j = —a>²r(t). Widzimy, że wektor przyspieszenia ma kierunek wektora położenia, ale przeciwny zwrot.

c.    Kiity między wektommi znajdziemy korzystajifc z iloczynu skalarnego:

a ■ v    (—bćos\ncot)(-(o²bcoscot) + (ot>cosćł)t)(-G>²csinćł)£)

cos^(a, t?) =    = ...    ..    ; =

l^aN^vl yj(-co²bcoscot)² + (-aj²csina>£)² J(-cobsiruot)² + (a>ccosa)£)²

(b² — c²)sinroŁ • cosa>£

y/(bcoscot)² + (csin<o£)² yj(bsincot)² + (ccoscot)²

4*. Kamień porusza się w powietrzu po torze danym równaniem:

y = /i + tga-x — g/(2vl cos²a) • x² ,

gdzie li, g,ct, v₀ - stałe dodatnie (odpowiednio: wysokość, wartość przyspieszenia ziemskiego, kąt, pod którym rzucono kamień, wartość wektora prędkości początkowej), a współrzędne jego położenia przyjmują tylko wartości dodatnie. Wiadomo, że pozioma składowa prędkości v_x- const. (a) Naszkicuj tor kamienia i znajdź zależność x(f) oraz y(t). (b) Znajdź wektor prędkości chwilowej v(£). (a) Znajdź przyspieszenie chwilowe kamienia a.

Metoda rozwiązywania zadania:

1.    Uważnie przeczytaj temat i zastanów się, jakie wielkości są podane a jakie musisz wyznaczyć.

2.    Sporządź rysunek, w tym przypadku możesz naszkicować tor kamienia w odpowiednio wybranym układzie współrzędnych xy.

3.    Przeanalizuj ruch kamienia porównując ze znanymi ci przykładami z życia (możesz wykonać doświadczenie np. rzucając kamień pod różnymi kątami).

4.    Znajdź x(t) oraz y(t). Jak wykorzystać informację, że v_x= const? (wskazówka: wzdłuż osi x ruch jednostajny prostoliniowy: x = v_xt, a jeśli podstawimy to wyrażenie do wzoru na y, to co dostaniemy?)

5.    Wykonaj obliczenia składowych prędkości korzystając z podanych na wykładzie wzorów: v_x = ^p-, itd.

6.    Sprawdź, czy otrzymane wzory na składowe prędkości dają poprawny wymiar tej wielkości.

7.    Zastanów się, jaki wpływ na ruch kamienia mają graniczne wartości kąta a.

8.    Oblicz przyspieszenie kamienia a(a_x = itd.)

Zadanie było roziciązane na ćwiczeniachl

2