123152

badając wzajemne położenie wektorów normalnych.

Płaszczyzny te są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy wektory normabie [AuBuCi] i [A₂.D₂,C₂] czyli

_ B\ _ C\

A2 B'2 C2

Płaszczyzny pokrywają się gdy:

Ą1 = B1	c,	Dx
A 2 B2	C2	d2

wynika to bezpośrednio z twierdzenia Kroneckera-Capellego.

Jeśli wektory normalne do płaszczyzn nic są równoległe to płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej:

| A\X + B\y + C\Z + D\ = 0 y A2X + B2IJ + C2Z + D2 = 0

takie przedstawienie prostej w przestrzeni nazywamy równaniem krawędziowym prostej.

Pęk płaszczyzn

Jeśli prosta / jest dana w postaci krawędziowej:

( A\x + B\y + C\Z + D\ = 0 1 A2X + B₂y + O2Z + D2 — 0

to:

a(A\x + B\y + C\Z -f D\) -t- ft(A2X + B^y 4- O2Z + D2) = 0

dla różnych wartości parametrów a i (3 przedstawia zbiór płaszczyzn przechodzących przez prostą /. zbiór ten nazywamy pękiem płaszczyzn wyznaczonych przez prostą l.

Zadanie Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(3.2.1) i zawierającej prostą:

I x + 2y — 3z + 4 = 0 \ x — 3y + 2z - 1 = 0

Równanie parametryczne prostej

Prostą będziemy tutaj przedstawiać w^r następujący sposób. Wybieramy wektor a = [x_a,y_a,z_a] i punkt P(x₀, y₀, Zą). Zbiór punktów Q{x,y, z) takich, że wektor P() jest równoległy do a tworzy prostą w przystrzeni. Wektor P() ma współrzędne (x — x₀,y — y₀, z — 2₀), a prosta ma wzór:

•r - .r₀ _ y- y₀ _ z - z₀

x_a y<i Za

2