123169

1 + 1 + ... + 1.

Zbiór Ki ma dokładnie p elementów: 1,1 + 1,1 + 1 + 1

p-1

Ponadto /\j jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie. Rzeczywiście A:1 + /I = (A: + /)1 i (A'l)(/1) = (kl) 1. Odwzorowanie / : Z_p —* K\, f(k) = AT jest izomorfizmem. Podobnie można udowodnić, że jeśli charakterystyka ciała K jest równa zero to K\ jest izomorficzny z pierścieniem liczb całkowitych, a to oznacza że w ciele K istnieje poddało izomorficzne z ciałem liczb wy miernych.□

Twierdzenie 3 Jeśli ciało K jest skończone to liczba jego elementów jest równa p^k dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej liczby naturalnej k.

Dowód Jeśli K jest ciałem skończonym to jego charakterystyka musi być różna od zera. A więc Istnieje liczba pierwsza p, taka że CharK = p. Na podstawie poprzedniego twierdzenia Istnieje podciało K\ ciała K, które jest izomorficzne z ciałem Z_p. Ciało K można traktować jako przestrzeń liniową nad K\. Przestrzeń ta jest skończenie wymiarowa (bo liczba wektorów jest skończona). Istnieją, zatem, wektory Vi,    które stanowią bazę tej

przestrzeni. To oznacza, że każdy element V G K ma jednoznaczny zapis w postaci:

v = ojri + a₂1’₂ + ... + a/fct;*,

gdzie Oj € K\. A więc liczba wektorów z ciała I\ jest równa liczbie wszystkich

możliwych ciągów (qi,q₂,____a*) o wyrazach z ciała K\. Ponieważ w^f ciele

Ki jest dokładnie p elementów to w ciele K jest dokładnie pr elementów'.□ Przykład Nie istnieje dało, które ma dokładnie 6 elementów, bo liczba G nic jest potęgą liczby pierwszej.

Pierścienie wielomianów

Niech P będzie pewnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach z pierścienia P nazywamy wyrażenie postaci:

«o + a\x + ... + a„xⁿ

gdzie G P. Każdy element a, nazywamy współczynnikami tego w ielomianu, a element x nazywamy zmicmią. Wyrażenia te rozumiemy w sposób formalny niejako funkcje ale jako napisy formalne. Zbiór wszystkich wielomianów' jednej zmiennej x o współczynnikach z pierścienia P oznaczamy przez P[x). Zmienna x spełnia następujące własności:

(i)    ax = xa dla każdego a G P.

(ii)    Każdy element ze zbioru P[x] ma jednoznaczny zapis w^r postaci:

«o + <i|Z + • • • + a_nxⁿ

2