46471

STACJONARNOŚĆ SZEREGÓW CZASOWYCH

Dane tworzące szereg czasowy można uważać za generowane przez proces stochastyczny, czyli rodzinę zmiennych losowych {X_t} o wartościach rzeczywistych, uporządkowanych zgodnie z indeksami należącymi do zbioru T. Szereg czasowy jest realizacją procesu stochastycznego w zbiorze T, czyli ciągiem liczb będących wartościami obserwowanej zmiennej. Rozróżnienie pomiędzy procesem stochastycznym a jego realizacją jest podobne do rozróżnienia pomiędzy populacją i próbą w statystyce.

Większość procesów stochastycznych z trudem poddaje się analizie, wnioskowaniu i ekstrapolacji. Stosunkowo najmniej kłopotów wiąże się z badaniem procesów stacjonarnych.

W skrócie można powiedzieć, że proces jest stacjonarny, jeśli jego podstawowe własności nie zmieniają się w czasie, (szczegóły -> patrz wykład). Posługiwać się będziemy pojęciem procesu słabo stacjonarnego, czyli takiego którego wartość oczekiwana i wariancja są skończone i stałe, a wartość kowariancji zależy jedynie od odstępu pomiędzy obserwacjami.

Wprowadźmy oznacznia:

-    wartość oczekiwana procesu stochastycznego - /U = E(X_t)

-    wariancja procesu stochastycznego - CT² = E(X, -fi)²

-    kowariancja y_k = E[(X, -fi)(X,._k -/j)\

Proces jest słabo stacjonarny, jeżeli

-    fJ,<T‘ są stałe i skończone,

-    przypuśćmy teraz, że przesuniemy początek procesu {X_Ł) z Xi do X_B. Jeśli proces {X_t} jest stacjonarny, to średnia, wariancja oraz autokowariancje procesu (X_tłM) są takie same jak procesu {X_t}.

UWAGA: proces, który nie jest stacjonarny nazywany jest niestacjonarnym. TEST PIERWIASTKA JEDNOSTKOWEGO

-    jest testem weryfikującym hipotezę o niestacjonarności szeregu czasowego. Rozpatrzmy model:

y, = y,-i+ ^£,'

gdzie 6, jest składnikiem losowym o zerowej wartości oczekiwanej, stałej

wariancji (7“ oraz nie wykazujący autokorelacji. Taki składnik losowy nazywamy białym szumem i jest przykładem procesu stacjonarnego.

Łatwo sprawdzić, że dla ustalonego y₀:

y\ = y<> + ^en    var(v,) = <7\

yi=y₀ + ^e\+^£i>    var(,y₂) = 2<r^z

= v₀ +e_x +e₂ + £₃,    yarO^) = 3ćt^: itd.

Szereg czasowy (y_t) jest więc niestacjonarny.

Idea testu pierwiastka jednostkowego jest następująca. Szacujemy model

y,=py,-1+*, •

Jeżeli po oszacowaniu stwierdzimy, że p - 1, mówimy że szereg ma pierwiastek jednostkowy, co jest równoważne temu, że jest niestacjonarny.

2