49388

•i _    1

Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak. jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że * “ ” ¹. Tak więc:

^Z1 ^+Z2 ~ (^a + *) + ^+£O^l

z_:-z₂ = (a-c) +(b - d)i z_lz₂ = (ac - bd) + (ad +6c)i

Trochę tmdnicj jest z dzieleniem, a dokładniej do doprowadzenia ilorazu do postaci Re z + Im z i. Zastosujemy tu wzór:

|z|³ = zz

£l_

Obliczmy teraz iloraz ^z2 oczywiście zakładając, że ^J

z_x    (ac+bd) (bc-ad)

z₂ |z_a|    |z₂|

Działania aiylmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działali.) Wynika z nich. że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowanie są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwa są wzoiy skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. Więc mówiąc, źc liczba jest dodatnia nic musimy dodawać, źc jest ona rzeczywista.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczbę zespoloną możemy przedstawić w^r postaci tiygonometiycznej:

z = a +bi = |z|(cos <p + t sin ę?)    brl - Va³ +A^a

. gdzie ^{r 1}

Liczbę ^ nazywamy modułem ², a kąt skierowany ^ (dokładniej jego miarę) argumentem liczby ² * ^ i oznaczamy

arg z. Wartość argumentu liczby z czyli ^ określamy na podstawie wartości fimkcji cosinus i sinus dla ^ . które są dane wzorami:

cos ę? —

Hi

b

Wygodniej jest nie ograniczać zakresu zmienności argumentu ^ . ale tracimy przez to jednoznaczność. Liczbie zespolonej

różnej od zer a odpowiada nieskończenie wiele argumentów' Jeżeli ^ jest argumentem liczby ². to każdy inny argument tej liczby wyraża się wzorem

arg z - <p + 2H1 gdzie k jest liczbą całkowitą.

Dwie liczby zespolone są sobie równe, wtedy i tylko, gdy mają równe moduły i argumenty różniące się o całkowitą wielokrotność liczby 211 Jeżeli ^ ^ [0,211) ^nj^ywamy argumentem głównym i oznaczamy Arg ² (Niektóre podręczniki nieco inaczej definiują argument główny: Argumentem głównym nazywają ^ . gdy ^ ^ ^ 1X11] ^