49687

Rozkład normalny

Gdyby znane były prawdopodobieństwa p, poszczególnych wyników x, - nio2na byłoby wyznaczyć średnią. zwaną także wartością oczekiwaną, wartością przeciętną lub medianą m

m

i p<x,

oraz odchylenie standardowe o

⁰ = Pi ^X<

Rozkładowi normalnemu podlegają wyniki pomiarów prowadzonych w niezmiennych warunkach, ale na wartość wyniku wpływa duża ilość nieidentyfikowlnych czynników.

Dobrym estymatorem rozkładu normalnego jest funkcja zaproponowana przez Gaussa:

(x- m)²

Funkcja Gaussa posiada dziedzinę od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Odchylenie standardowe a oszacowuje (estymuje) się z zależności:

li (*. -

Średnia m oszacowana jest z zależności: i-1

Funkcja Gaussa jest gęstością prawdopodobieństwa wartości wyniku pomiani. Funkcja pozwala obliczyć prawdopodobieństwo P(xi, X:). że wynik zawiera się w określonym przedziale x,—>Xj:

x%

P(x_t,x₂)= | f(x) dx

^x2

Prawdopodobiensńvo że wynik pomiaru znajdzie się w przedziale [m-C, m+o] wynosi 69,5 % (zielony obszar na wykresie) Prawdopodobiaistwo żc wynik pomiani znajdzie się w przedziale [m-2o; m+2o] wynosi 95,7 %

Prawdopodobieństwo że wynik pomiani znajdzie się w przedziale [m-3o; m+3o] wynosi 99,6%

Znaczaiic praktyczne Hinkcji Gaussa poza przedziałem [m-3cr, in+3o] jest nieistotne, ponieważ prawdopodobieństwo wyniku poza tym pizcdzialan jest znikome - nuiiejsze od 0.4%.

Powy^rższe rozważania dotyczą wyniku pojedynczego pomiani. Można także ustalić funkcję opisującą rozkład dla średniej z określonej ilości pomiarów. Odchylenie standardowe takiego rozkładu estymuje się inaczej ... (zagadnienia dotyczące przypadkowości badane są w obrębie dziedziny statystyki).