085

85

5.2. Estymacja przedziałowa

Rozkład normalny, O znane

Rozkład

normalny,

O nieznane

Model I. Populacja generalna ma rozkład N(/n,cr), odchylenie standardowe jest znane. Nieznany jest parametr m, dla którego szukamy przedziału ufności. Dla próby o liczebności n, końce przedziału ufności wyrażają się wzorami:

—    G    O

Z, = X U_a y= , Zy — X -f- Li_a -p= ,

vⁿ    Vⁿ

gdzie u_a jest takie, że Pr(|f/| > u_a) — a oraz U ~N(0,1). Wtedy

/— o    — a \

Pr [ X — u_a—= < m < X-p u_a—= } = ] — cc.    (5.2.1)

V yjn    y/nj

Aby dla otrzymanych już danych, a więc ustalonego zdarzenia elementarnego co wyznaczyć przedział ufności, należy w miejsce X we wzorze (5.2.1) podstawić x.

Model II. Populacja generalna ma rozkład Nodchylenie standardowe jest nieznane. Nieznany jest też parametr m, dla którego szukamy przedziału ufności. Dla próby o liczebności n końce przedziału ufności wyrażają się wzorami

Z, = X-t_a

Z₉ — X + t_a

\/n — 1 ’

gdzie t_a jest takie, że Pr( |/| > t_a) — a oraz t ma rozkład /-Studenta on — 1 stopniach swobody. Statystyka S — y/s² określona jest wzorem (4.1.2). Wtedy

S    _ s

PI* ( X - t_a    < M < X + t_a

y/n ~~ 1

\/n - 1

— \- a

(5.2.2)

lub równoważnie przy pomocy statystyki S — \/W-

n    a

(5.2.3)

= 1 - a.

S — s

Pr I X — t_a —= <m <X ~pt_a

n

Ponieważ we wzorach (5.2.1), (5.2.2) i (5.2.3) znamy dokładne rozkłady statystyk, to można je stosować nawet przy małych próbach.

Rozkład dowolny, duża próba

Model III. Rozkład dowolny, ale n musi być duże (co najmniej kilkadziesiąt) oraz istnieje wariancja a² — D²X < ©o, która może być nieznana. Wtedy przedziały ufności wyznaczane są ze wzoru (5.2.1), przy czym zamiast o można

A    A

podstawić S lub S (dla dużego n różnica między S i S jest nieznaczna) gdy a nie jest znane.

Przykład. 100 danych do tego przykładu zostało wziętych z populacji o rozkładzie N(2,0.2):

2.29, 2.03, 1.86, 2.24, 1.81, 1.58, 2.05, 1.86,2.09, 2.25, 1.77, 1.71, 1.73, 1.88, 1.70,