85829 Strona 3 (7)

Estymacja przedziałowa dla średniej

Model I. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N (p, a). Wartość średniej p jest nieznana, odchylenie standardowe a w populacji jest znane. Z populacji tej pobrano próbę o liczebności n elementów, wylosowanych niezależnie. Przedział ufności dla średniej p populacji otrzymuje się ze wzoru:

-%=< M<x + u_a

1 - a

Model II. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a). Nieznana jest zarówno wartość średnia p, jak i odchylenie standardowe a w populacji. Z populacji tej wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n (n<30) elementów. Przedział ufności dla średniej p populacji otrzymuje się wówczas z wzoru:

1 - a

Model III. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a) bądź dowolny inny rozkład o średniej p i skończonej wariancji a² (nieznanej). Z populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym liczebność próby jest duża (co najmniej kilkadziesiąt). Wtedy przedział ufności dla średniej p populacji wyznacza się ze wzoru jak w modelu I, z tą tylko różnicą, że zamiast a we wzorze tym używamy wartości odchylenia standardowego s z próby

Estymacja przedziałowa dla wariancji

Model. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a) o nieznanych parametrach jj i cr. Z populacji tej wylosowano niezależnie do próby n elementów (n jest małe tj. n < 30). Z próby obliczono wariancję s². Wówczas przedział ufności dla wariancji cr populacji generalnej określony jest wzorem:

= 1 -a

ns²    ₂ ns¹

-< a <-

Ci

Weryfikacja hipotez dla wartości średniej

Model 1. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p,o), przy czym o jest znane.

_    X ~ Mo

Test: u =--V

<J

Model II. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p,cr), przy czym odchylenie standardowe w populacji a jest nieznane. W oparciu o wyniki małej n-elementowej próby zweryfikować hipotezę zerową: H₀ : (i = Po

\x~Mo\ /—

Test: t —--v n

s

Model III. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p,a) lub dowolny inny, o średniej p i skończonej i nieznanej wariancji a. Na podstawie wyników z dużej n-elementowej próby zweryfikować hipotezę zerową: H₀ : p = p₀

^    ~ Mo r

Test: u =--v«

5

Weryfikacja hipotez dla równości średnich

Model I. Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry mają rozkłady normalne N(pi,cr,) i N(p₂,a₂), przy czym znane są odchylenia standardowe w tych populacjach 0| i o₂. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób o liczebnościach odpowiednio ni i n₂ należy sprawdzić słuszność hipotezy zerowej: H₀: Pi = p₂

Model II. Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry mają rozkłady normalne N(pi,G|) i N(p₂,a₂), przy czym odchylenia standardowe w tych populacjach ct| i c₂ nie są znane ale jednakowe tj. a, = ct₂. W oparciu o wyniki dwu niezależnych małych prób o liczebnościach n| i n₂ należy sprawdzić słuszność hipotezy zerowej:

Test:

H₀: pi = p₂ Test: t —

Model III. Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry mają rozkłady normalne N(pi,G₁) i N(p₂,a₂) lub inne o

skończonych wariancjach cr, i cr₂ ,

które są nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezależnych dużych prób o liczebnościach odpowiednio n| i n₂ należy sprawdzić słuszność hipotezy H₀: Pi = p₂

n_xs] + n^s² ^

2° 1

+ n₂ - 2

1 1

--1--

V" i ⁿ

\

2 )

Test: u =

(«-l)

Test: X' =

Weryfikacja hipotez dla wartości wariancji

Model. Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p,a), przy czym parametry a i p są nieznane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikować hipotezę zerową:

H₀: g²= aj

= prŹo,-*)²

(=|

Weryfikacja hipotez dla równości dwóch wariancji

Model Rozpatrujemy dwie populacje, w których badana cecha

ma odpowiednio rozkład normalny N(|i,,cj|) i N(p₂,a₂), przy

czym parametry tych rozkładów są nieznane. W oparciu o

wyniki dwu niezależnych prób o liczebnościach odpowiednio n,

i n₂ należy sprawdzić słuszność hipotezy zerowej:

,, 2 _ 2 H₀ - G i G y

Test: F = —r-

<7,.