82681 stata2

Przedział ufności dla wariancji

Model I

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a) o nieznanych parametrach n i o. Z populacji tej wylosowano niezależnie do próby n elementów (n jest małe tj. n < 30). Z próby obliczono wariancję s². Wówczas przedział ufności dla wariancji o² populacji generalnej określony jest wzorem:

ns

- < <J < -

ns

= 1-

gdzie:

n-\~t

a ci i c₂ są wartościami zmiennej x wyznaczonymi z tablicy rozkładu X dla n-1 stopni swobody oraz współczynnika ufności 1-a w taki sposób, by spełnione były relacje:

P(X² <0=^«

P(Z ^c₂y=-a

Ponieważ powszechnie używane tablice rozkładu y? podają prawdopodobieństwo P(x²^X.²a), zatem dla określonego współczynnika ufności 1-a wartości c_t znajdujemy z tablic rozkładu x² dla prawdopodobieństwa 1-a/2, natomiast wartość c₂ dla prawdopodobieństwa a/2.

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a) lub zbliżony do normalnego o nieznanych parametrach n i o. Z populacji tej wylosowano niezależnie dużą liczbę n elementów (n co najmniej

kilkadziesiąt). Z próby tej obliczono odchylenie standardowe S    . Wtedy przybliżony przedział ufności

dla odchylenia standardowego crpopulacji generalnej jest określony wzorem:

> = \-a,

1 +

a/2n

1-

-J2n.

taki sposób dla ustalonego 1-a z

gdzie u,j jest wartością zmiennej normalnej standaryzowanej U, wyznaczoną v tablicy rozkładu N(0, 1), by spełniona była relacja:

P{-u₀<U<u„}=l-a.

Zadanie 4

Badając wytrzymałość elementu konstrukcyjnego dokonano n=4 niezależnych pomiarów wytrzymałości i otrzymano następujące wyniki (w MPa): 120, 102, 135, 115.

Należy zbudować przedział ufności dla wariancji rł wytrzymałości tego elementu, przyjmując współczynnik ufności l-a=0.96.

Zadanie 5

W celu oszacowania rozrzutu jednostkowego kosztu produkcji pewnego artykułu produkowanego przez różne zakłady, wylosowano niezależnie do próby n=80 zakładów produkcyjnych i otrzymano następujące wyniki badania tego kosztu (w tys. złotych).

Koszt jednostkowy	Liczba zakładów
20-40	10
40-60	16
60-80	24
80-100	18
100-120	12

Przyjmując współczynnik ufności 0.95 oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe jednostkowego kosztu produkcji tego artykułu.

Zadanie 6

W celu oceny stabilizacji procesu produkcyjnego wałków określonej średnicy, dokonano pomiarów odchyleń od nominalnej średnicy dla 150 wylosowanych wałków. Otrzymano następujący rozkład odchyleń od nominalnej średnicy (mikronach):

Odchylanie od nominalnej średnicy	Liczba wałków
0-5	2
5-10	10
10-15	25
15-20	36
20-25	45
25-30	22
30-35	10

Przyjmując współczynnik ufności 0.99 zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego odchyleń od nominalnej średnicy wałków.