49702

Równanie Schrodingera

Postulaty deBrou pozwalają określić długość i częstotliwość fali. Witamy, że ruch cząstki zależy od częstotliwości rozproszenia Te informacje nie wystarczają aby wyznaczyć zachowanie się cząstki. W prostym przypadku swobodnej cząstki prędkość grupowa fali de Brou równa się prędkości cząstki Fale te ulegają silnej dypresji W ogólnym przypadku musimy dysponować równaniem opisującym rozchodzenie się fal materii. Poszukiwane jest wobec tego równanie, które spełniłoby rolę II równania Newtona w mechanice klasycznej (II zasada dynamiki) Poszukujemy takiego równania, które pozwoliłoby określić funkcję ip(x,y,z,t). Podstawowe równanie mechaniki kw'antowej powinno dać określenie tej funkcji Równanie to powinno być równaniem falowym, gdyż powinno być ono rozwiązaniem z dyfrakcją cząstek. Równanie takie zostało zapostulowane w I924r przez Scluodingera. -h/i*8ąi/8t=-łr/wm*Avg+U(x,y,z,t)\jr; U(x,y,z,t) - energia potencjalna w polu sil w którym cząstka się porusza, i-czyraiik urojony, A-laplacjan, m-masa cząstki ; A=8^;/8x^:+8^:/8y^;+8^:/8z^: Równanie to dotyczy małych prędkości, jest to praw'dziwe dla dowolnej cząstki poruszającej się z V«c. Fimckja ą/ musi być: -skończona, ciągła, jednoznaczna, -pochodne, 8ą</Sx, 8vji/8y. 8ą»,8z powinny być ciągle.

Stacjonarne równanie Schrodingera

Jest podstawowym równaniem nie relatywistycznej mechaniki kwantowej V/c«l ; h/i*8«p/8t=-lr/2m*Avji+U(x,y,z,t)ą< ą/(x,y,z,t)=y,(x,y,z)!j/(t) ; -hh*8/8t*(Hi,cp)=-lr/2m*A(ijM(>+U(x,y,z)ąi,(p ; -li'u()*8ip^;8t=-lr/2in*Aiji_l^;ił«,+U(x,y,z); h/i<p*8<(>/8t=h^:/2m*Ai|(,A|<,-U(x,y,z) ; Równość jest spełniona jeżeli obie strony równania różniczkowego są równe pewnej stałej. Oznaczmy tą stalą przez (-E) ; h/i(p*8(p/8t=-E ; h^!/2m*Aij(,/iji,-U(x,yz)=-E ; 8cp/(p=-iE/łi*8t ; Jd<p/cp=-ie/li*Jdt ; lmp=-ie/lt*t+c ; Jeżeli <|>=(p₀ dla t=0 ; c=ln<p„ ; ln<p-ln(p„=-iE/h*t ; ln<p/<p₀=-iE/h*t ; <p=<p_<,e'(-iE/h*t) ; h^!/2m*Ai(<₍-<|/,U(x,y,z)+eą/,=0 ; Ai|;,+2m/li^:(E-U)i|/,=0 , Fimkcje i|/, spełniają równanie Scluodingera przy zadanym U nazywa się funkcjami własnymi c{> ip.e (-lE li*t) ; Ay,+2mdi^:*(E-U)\|/,=0 ; iji(x.y,z,t)=ijr,<()₀e''(-iE/li*t) ; <p„=l ; v|/(x,y,z,t)=i|(,e^A(-iE/h*t) , Jaki sens fizyczny ma stała E ; As-lV,²*8^Js/8tN); s=A(r)e^A[i(o)t-kr)] ;k/or=l/V_f; s=A(r)e^A[2nVi(t-r/V,)] ; 8s/8t=2nViA(ije^A(2riVi(t-r/V_f)] , As+l/Vf^!*4n^!V^:A(r)e[-2ITVi(t-r/V()] ; V(=Xv=hv/p=hv/inV ; As+nrV^;/irV^:*4n^:V^:s=0 ; As+m/(h/21T)^:*mV^!s=0 ; As+m/lr*2E_kS=0 ; As+2mdr*E_kS=0 ; E=E_k+V; Tak więc stała E w równaniu Scluodingera jest energią całkowitą pomszającej się cząstki.