53317

n

to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A składającego się z k zdaizeń elementarnych (N(A) = k). wyraża się równością

N(A) _ k _ liczba zdarzeń {(O_t) sprzyjajipych zdarzeniu A    ^

/V(Q) n    liczba zdarzeń(<y,) przestrzeń Q

Elementarne własności prawdopodobieństwa wynikające z definicji i działali na zdarzeniach są następujące:

•    Prawdopodobieństwo zdaizenia niemożliwego równa się zeru, czyli P(0) = 0.

•    Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdaizenie R(AczB), to P(A)<. P(B) oraz

ĄB/A)=ĄŚ)-Ąa).

•    Jeżeli zdarzenia są rozłączne parami, to P(A_l'uA₂'u...'uA_n) = = P(A_X)+...+ P{A_h).

•    Prawdopodobieństwo alternatywy zdarzeń A, B jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdaizeń zmniejszonej o prawdopodobieństwo ich koniunkcji. czyli

P(A kj B) = P(A) + ĄB) - P(AB)    (2.1.2)

•    Siana prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych równa się jedności, czyli P{A)+ P{A')=\.

2.1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń

Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdaizenia B ( P(A \ B)) nazywamy liczbę określoną następującą równością

=    A.BeZ    (2.1.3)

⁷ P(B)

Z wzoru (2.1.3) wynika wzór na prawdopodobieństwo koniunkcji dwu zdaizeń:

P(AB) = P(A) P(B\A) lub P(AB)= P(B) P(A\B)    (2.1.4)

Prawdopodobieństwo koniunkcji n zdaizeń A_X,A₂.....A„ wyraża się równością:

P(A_xA₂...A_h) = ĄA_X) ĄA₂\A_x) ĄA₃\A_iA₂\..P(A_m\A_lA₂A_y..A_m__x) (2.1.5)

Warunkami niezależności zdarzeń/!. B są następujące równości:

P(A\B)= P(A) lub P{B\A)= P(B) czyli P(AB)= P(a)ĄB) (2.1.6)

Zdarzenia A_X,A₂.....A_n są wzajemnie niezależne, gdy prawdopodobieństwo łącznego zajścia

różnych zdarzeń spośród nich jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń, czyli ĄA_XA₂...A_m)=ĄA_x)ĄA₂)...P(A_m) 0n*n)    (2.1.7)

Jeźeh zdarzenie B może zajść w wyniku zajścia jednego z n zdaizeń A_x,A₂,...,A_m jedynie możliwych i wzajemnie wykluczających się. to prawdopodobieństwo zajścia zdaizema B wyraża się równością

ĄB)= Ąa_x) P(B\A_X)+ Ąa₂) ĄB\A₂}*...+ĄA_n)P(B\A_n)    (2.1.8)

Wzór (2.1.8) wyraża twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym).

Dla zdaizeń spebuających zależność (2.1.8) zachodzi twierdzenie Bayesa, które dotyczy prawdopodobieństwa warunkowego zdaizeń A_k przy warunku B. czyli