Definicje i twierdzenia na ustny egzamin maturalny z matematyki

1. Twierdzenie sinusów (tw. Snelliusa)

Tw.

Dla dowolnego trójkąta stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw jest stały i równa się podwojonej długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód:

Z twierdzenia, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary:

c.n.d.

2. Twierdzenie cosinusów (tw. Carnota, uogólnienie tw. Pitagorasa)

Tw.

W dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków przez cosinus kąta zawartego między nimi.

a^­­2 = b^­­2 + c^­­2 - 2bc*cosα

b^­­2 = a^­­2 + c^­­2 - 2ac*cosβ

c^­­2 = a^­­2 + b^­­2 - 2ab*cosγ

Dowód 1:

c.n.d.Dowód 2:

Na mocy twierdzenia sinusów boki a, b, c są proporcjonalne do odpowiednio sinα, sinβ, sinγ. Twierdzenie cosinusów przybierze zatem postać:

1. sin²α = sin²β + sin²γ - 2 sinβ sinγ cosα

Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie :

Lewa strona równania (I):

Prawa strona równania (I):

L = P c.n.d.

Wnioski z twierdzenia cosinusów:

1.

2. Twierdzenie Pitagorasa

3.

3. Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym

Tw.

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

(W trójkącie prostokątnym kwadrat wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną jest równy iloczynowi długości odcinków, na które dzieli tą przeciwprostokątną)

( h² = pq )

Dowód:

Z podobieństwa trójkątów:

c.n.d.

4. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu

Tw.

Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy gdy sumy długości przeciwległych boków w tym czworokącie są równe.

Teza:

|BC| + |AD| = |AB| + |CD|

Dowód:

Zauważamy przystawanie par trójkątów:

Wtedy:

|AB| = u + x

|BC| = x + y

|CD| = y + z

|DA| = z + u

L = |BC| + |AD| = x + y + z + u

P = |AB| + |CD| = u + x + y + z

L = P

c.n.d.

5. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

Tw.

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów w tym czworokącie są równe i wynoszą 180° (π).

Teza:

α + β = γ + δ = 180° = π

Dowód:

Korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym w okrąg:

2α + 2β = 2π /:2

α + β = π

c.n.d.

6. Twierdzenie o odległości dwóch dowolnych punktów koła

Tw.

Odległość dwóch dowolnych punktów koła jest niewiększa od jego średnicy.

Teza:

Dowód:

Z definicji koła:

(po dodaniu nierówności stronami)

Z twierdzenia o długościach boków trójkątów:

Z własności nierówności:

c.n.d.

7. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Tw.

Rzuty dwóch boków trójkąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego zawartego miedzy tymi dwoma bokami są proporcjonalne do długości tych boków.

Dowód:

Z twierdzenia sinusów:

c.n.d.

8/9. Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym w okrąg

Tw.

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

założenie:

β = γ + δ

teza:

α = 2β

dowód:

c.n.d.

10. Twierdzenie o symetralnych boków trójkąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

założenie:

ΔABC

teza:

dowód:

korzystając z def. symetralnej odcinka (zbiór punktów równo oddalonych od końców odcinka)

c.n.d.

11. Twierdzenie o dwusiecznych kąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy dwusieczne jego kątów przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

założenia:

teza:

dowód:

z def. dwusiecznej kąta (zbiór punktów równo oddalonych od prostych, w których zawierają się ramiona kąta)

c.n.d.

12. Twierdzenie Pitagorasa

Tw.

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

a² + b² = c²

założenie:

dowód 1:

patrz twierdzenie cosinusów

dowód 2:

ΔBDC i ΔABC są podobne o skali podobieństwa
;

ΔADC i ΔABC są podobne o skali podobieństwa
.

Oznaczmy pole ΔABC przez P, pole ΔBDC przez P₁ i pole ΔADC przez P₂

Ponieważ stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali prawdopodobieństwa otrzymujemy:

c.n.d.

dowód 3:

c.n.d.

13. Twierdzenie o środkowych boków trójkąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy środkowe jego boków przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na odcinki o stosunku długości 2:1.

założenia:

środkowe

teza:

dowód:

z twierdzenia Talesa dla kąta
:

z założenia:

zatem:

z twierdzenia Talesa dla kąta
:

c.n.d.

14. Wzory na pole trójkąta

1. 
   

dowód:

c.n.d.

II.

W trójkącie prostokątnym:

dowód:

c.n.d.

III.

W trójkącie równobocznym:

dowód:

z twierdzenia Pitagorasa:

c.n.d.

IV.

dowód:

c.n.d.

(pozostałe dowodzi się analogicznie)

V.

dowód:

c.n.d.

VI.

dowód:

udowodnione wyżej

z twierdzenia o kątach opartych na tym samym łuku

z tw.o kątach wpisanym i środkowym ΔABC' jest

prostokątny

c.n.d.

VII.

VIII.

Wzór Herona:

15. Twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian (tw. Bezout)

Tw.

Wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian x-p wtedy i tylko wtedy gdy p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

dowód:

Niech p będzie pierwiastkiem wielomianu W(x). Dzieląc z resztą wielomian W przez x-p otrzymujemy :

W(x)=(x-p)V(x)+R

gdzie V(x) to pewien wielomian, zaś R - liczba.

Podstawiając za x=p otrzymujemy:

0=W(p)=(p-p)V(p)+R

stąd R=0, czyli W(x) dzieli się przez x-p.

Niech teraz wielomian W(x) dzieli się przez x-p. Wtedy:

W(x)=(x-p)V(x)

Podstawiając x=p mamy:

W(p)=(p-p)V(p)=0

czyli p jest pierwiastkiem wielomianu W(x)

c.n.d.

16. Twierdzenie na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

Tw.

a_n=a₁+(n-1)r

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L=a₁

P= a₁+(1-1)r= a₁

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

a_k= a₁+(k-1)r

teza indukcyjna dla n=k+1 :

a_k+1= a₁+kr

dowód:

z def:

a_k+1 - a_k=r

a_k+1= a_k+r

zał.ind.

a_k+1= a₁+(k-1)r +r

a_k+1= a₁+kr-r +r= a₁+kr c.n.d.

17. Twierdzenie na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Tw.

a_n=a₁·q^n-1

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L=a₁

P= a₁·q^1-1= a₁

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

a_k= a₁·q^k-1

teza indukcyjna dla n=k+1 :

a_k+1= a₁·q^k

dowód:

z def:

a_k+1 = a₁·q^k-1·q = a_k+1= a₁·q^k c.n.d.

18. Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Tw.

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L= S₁= a₁

L=P

sprawdzenie dla n=2:

L= S₂= a₁+ a₂

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

teza indukcyjna dla n=k+1 :

dowód:

c.n.d.

19. Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Tw.

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L= S₁= a₁

L=P

sprawdzenie dla n=2:

L= S₂= a₁+ a₂

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

teza indukcyjna dla n=k+1 :

dowód:

c.n.d.

20. Twierdzenia o działaniach na logarytmach

I.

dowód:

c.n.d.

II.

dowód:

c.n.d.

III.

dowód:

c.n.d.

IV.

dowód:

c.n.d.

V.

dowód:

c.n.d.

VI.

dowód:

c.n.d.

VII.

dowód: (niewprost)

sprzeczność, zatem wzór jest prawdziwy c.n.d.

21. Twierdzenie o pochodnej iloczynu i ilorazu dwóch funkcji

Tw.

Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów pochodnej pierwszej funkcji przez funkcję drugą oraz pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji.

dowód:

c.n.d.

Tw.

Pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi różnicy iloczynów pochodnej pierwszej funkcji przez funkcję drugą oraz pochodnej drugiej funkcji przez funkcję pierwszą, przez kwadrat funkcji drugiej.

dowód:

c.n.d.

22. Własności prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych, niech P będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach
. Wówczas:

I.

dowód:

korzystamy ze wzorów

na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

II.

dowód:

zbiory A i B\A są rozłączne

na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

III.

dowód:

z udowodnionej własności II:

z warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

IV.

dowód:

korzystając ze wzoru

oraz warunków definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

V.

dowód:

korzystamy z tożsamości :

ponieważ

więc na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

23. Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Tw.

Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych to jest prostopadła do płaszczyzny w której się te dwie proste zawierają.

dowód:

c.n.d.

24. Twierdzenie o trzech prostopadłych

Tw.

Jeżeli prosta l należąca do płaszczyzny α jest prostopadła do rzutu prostej pochyłej k względem tej płaszczyzny, to prosta l jest prostopadła do tej pochyłej.

dowód:

c.n.d.

25. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Tw.

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu a₀, a₁, a₂,..., a_n są całkowite, a liczba wymierna zapisana w postaci ułamka nieskracalnego
jest pierwiastkiem równania

a_nxⁿ+...+ a₂x²+ a₁x+ a₀=0

to p jest dzielnikiem a₀, natomiast q jest dzielnikiem a_n.

dowód:

z założenia mamy:

Lewa strona otrzymanej równości dzieli się przez p oraz p i q nie mają wspólnych dzielników więc p i qⁿ również nie mają wspólnych dzielników zatem a₀ dzieli się przez p.

Przez symetrię prawdziwa jest i druga teza twierdzenia.

c.n.d.

26. Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

Tw.

Rzuty dwóch boków trójkąta w kierunku dwusiecznej kąta zewnętrznego przyległego do danego kąta są proporcjonalne do długości tych boków.

dowód:

z twierdzenia sinusów:

c.n.d.

27. Definicje działań na zbiorach, przedziałów liczbowych, zbiorów ograniczonych i kresów

Definicje działań na zbiorach

I.

Suma

Sumą
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z wszystkich elementów zbioru A i wszystkich elementów zbioru B i z żadnych innych.

II

Iloczyn

Iloczynem
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A oraz do zbioru B.

III

Różnica

Różnicą
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B.

IV

Różnica symetryczna

Różnicą symetryczną
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, lub należą do zbioru B i nie należą do zbioru A.

V

Dopełnienie

Dopełnieniem A' zbioru A nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które nie należą do zbioru A.

VI

Zawieranie się zbiorów

VII

Równość zbiorów

Definicje przedziałów liczbowych

I.

Otwarty

Przedział otwarty (a, b) to zbiór wszystkich takich liczb
, że a<x i x<b.

II.

Domknięty

Przedział domknięty
to zbiór wszystkich takich liczb
, że a≤x i x≤b.

III.

Lewostronnie domknięty

Przedział lewostronnie domknięty
to zbiór wszystkich takich liczb
, że a≤x i x<b.

IV.

Prawostronnie domknięty

Przedział prawostronnie domknięty
to zbiór wszystkich takich liczb
, że a<x i x≤b.

Definicje zbiorów ograniczonych

I.

z dołu

Zbiór A nazywamy ograniczonym z dołu gdy istnieje liczba n niewiększa od każdego

II.

z góry

Zbiór A nazywamy ograniczonym z góry gdy istnieje liczba n niemniejsza od każdego

Zbiór ograniczony zarówno z dołu jak i z góry nazywamy ograniczonym.

Definicje kresów

I.

kres górny

Kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejszą liczbę ograniczającą zbiór A z góry.

sup A (supremum zbioru A)

II.

kres dolny

Kresem dolnym zbioru A nazywamy największą liczbę ograniczającą zbiór A z dołu.

inf A (infimum zbioru A)

28. Określenie funkcji, definicje funkcji monotonicznych, parzystych, nieparzystych, okresowych

Określenie funkcji

Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x zbioru X dokładnie jednego elementu y zbioru Y.

Definicje funkcji monotonicznych

I.

rosnąca

Funkcję f nazywamy rosnącą jeżeli f(x₁)< f(x₂), gdy x₁< x₂

jest rosnąca

jest rosnąca

II.

niemalejąca

Funkcję f nazywamy niemalejącą jeżeli f(x₁)≤ f(x₂), gdy x₁< x₂

jest niemalejąca

jest niemalejąca

III.

malejąca

Funkcję f nazywamy malejącą jeżeli f(x₁)> f(x₂), gdy x₁< x₂

jest malejąca

jest malejąca

IV.

nierosnąca

Funkcję f nazywamy nierosnącą jeżeli f(x₁)≥ f(x₂), gdy x₁< x₂

jest nierosnąca

jest nierosnąca

V.

stała

Funkcję f nazywamy stałą jeżeli f(x₁)= f(x₂), gdy x₁< x₂

jest stała

jest stała

Definicje innych rodzajów funkcji

I.

funkcja parzysta

Funkcję f nazywamy parzystą jeżeli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f spełniony jest warunek f(-x) = f(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY.

II.

funkcja nieparzysta

Funkcję f nazywamy nieparzystą jeżeli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f spełniony jest warunek f(-x) = - f(x).

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych

III.

funkcja okresowa

Funkcję f nazywamy okresową, gdy istnieje taka liczba s ≠ 0, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji f liczba x+s należy do tej dziedziny i f(x+s)=f(x).

Liczba s jest okresem tej funkcji. Najmniejszy okres dodatni, jeżeli istnieje, nazywamy okresem zasadniczym.

29. Funkcja liniowa, równania liniowe - dyskusja liczby pierwiastków

def.

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci:

f. stała y = b

f. rosnąca

f. malejąca

funkcja liniowa jest w całej dziedzinie monotoniczna

gdy a≠0 posiada jedno miejsce zerowe

α - kąt przecięcia wykresu z osią OX

a - współczynnik kierunkowy

def.

Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci:

I.

równanie jest oznaczone (1 rozwiązanie)

II.

równanie jest sprzeczne (0 rozwiązań)

III.

równanie jest nieoznaczone czyli tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań)

def.

Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci:

Ax+By+C=0

30. Funkcja kwadratowa, wzory, postacie, pierwiastki, dyskusja liczby i jakości pierwiastków w zależności od parametru

def.

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję postaci:

(trójmian kwadratowy)

Postacie funkcji kwadratowej:

I.

ogólna:

- wyróżnik trójmianu kwadratowego

II.

kanoniczna:

III.

iloczynowa:

Wzory na pierwiastki funkcji kwadratowej

Pierwiastki funkcji kwadratowej to odcięte punktów przecięcia paraboli z osią x.

Dyskusja liczby pierwiastków:

I.

dwa różne pierwiastki

II.

jeden pierwiastek podwójny

III.

brak pierwiastków

Wzory Viete'a

dowód:

c.n.d.

Dyskusja jakości pierwiastków:

I.

dwa pierwiastki różnych znaków

II.

dwa różne pierwiastki ujemne

III.

dwa różne pierwiastki dodatnie

IV.

dwa pierwiastki tego samego znaku

V.

jeden pierwiastek podwójny dodatni

VI.

jeden pierwiastek podwójny ujemny

31. Układ równań liniowych, dyskusja liczby rozwiązań

Wzory Cramera:

Dyskusja liczby rozwiązań:

I.

układ równań jest niezależny (jedna para rozwiązań)

II.

układ równań jest zależny (nieskończenie wiele par rozwiązań)

III.

układ równań jest sprzeczny (brak rozwiązań)

32. Wartość bezwzględna

def.

własności:

33. Funkcja homograficzna, definicje i wykres

def.

Funkcja homograficzna to funkcja wymierna zmiennej x określona wzorem:

dziedzina:

funkcja ta jest funkcją liniową i X=R

wykres:

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola
przesunięta o wektor
gdzie:

równanie asymptoty poziomej

równanie asymptoty pionowej

34. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna, trygonometryczna, definicje, wykresy i własnosci

Funkcja potegowa

def.

Funkcją potegową nazywamy funkcję postaci:

wykresy:

I.

dla n parzystych:

dla n nieparzystych:

II.

dla n parzystych:

dla n nieparzystych:

III.

dla k parzystych:

dla k nieparzystych:

IV.

dla k parzystych:

dla k nieparzystych:

Funkcja wykładnicza

def.

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci:

I.

0<a<1

np.

własności:

II.

a>1

np.

własności:

Funkcja logarytmiczna

def. logarytmu

Logarytmem o dodatniej i różnej od 1 podstawie a z liczby logarytmowanej b większej od 0 nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść podstawę a aby otrzymać liczbe logarytmowaną b.

def.

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci:

I.

0<a<1

np.

własności:

II.

a>1

np.

własności:

Funkcje trygonometryczne

def.

Jeżeli α jest miarą kąta skierowanego
, P jest dowolnym punktem końcowego ramienia tego kąta (
), x i y są współrzędnymi P,
, to:

I.

II.

III.

IV.

35. Ciąg liczbowy, monotoniczność

def.

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych i o wartościach rzeczywistych.

a₁, a₂, a₃,…, a_n,

monotoniczność ciągu:

36. Ciąg arytmetyczny, geometryczny, definicje, wzory, własności

Ciąg arytmetyczny

def.

Ciąg liczbowy w którym różnica pomiędzy wyrazem dowolnym i poprzednim (z wyjątkiem wyrazu pierwszego) jest stała i równa się r.

wzory:

n-ty wyraz ciągu

dowód

suma n elementów

dowód

3 kolejne elementy (warunek ciągu arytmetycznego)

monotoniczność:

rośnie

maleje

jest stały

Ciąg geometryczny

def.

Ciąg liczbowy w którym iloraz wyrazu dowolnym przez poprzedni (z wyjątkiem wyrazu pierwszego) jest stała i równa się q.

ciąg geometryczny zbieżny (do zera)

wzory:

n-ty wyraz ciągu

dowód

suma n elementów

dowód

suma wszystkich elementów ciągu zbieżnego

dowód:

c.n.d.

3 kolejne elementy

monotoniczność:

Ciąg geometryczny
jest:

• naprzemienny
  

• rosnący
  

• malejący
  

• stały
  

37. Definicje ilorazu różnicowego, pochodnej funkcji w punkcie i ich interpretacje.

Iloraz różnicowy

def.

Iloraz różnicowy jest to iloraz przyrostu wartości do przyrostu argumentów.

I.

II.

III.

interpretacja geometryczna

Iloraz różnicowy jest to tangens kąta jaki tworzy prosta (sieczna) przecinająca wykres funkcji w dwóch punktach, ze zwrotem dodatnim osi OX.

Pochodna funkcji w punkcie

def.

Dana jest funkcja y=f(x) gdzie
oraz punkt
,
, gdzie x_n jest dowolnym ciągiem
takim, że
.

Pochodna funkcji w punkcie to granica do której dąży ciąg ilorazów różnicowych.

I.

II.

III.

IV.

interpretacja geometryczna

Pochodna funkcji w punkcie o odciętej x₀ jest to tangens kąta jaki tworzy styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x₀ ze zwrotem dodatnim osi OX.

38. Granica funkcji, ciągłość funkcji, definicje, twierdzenia.

Granica ciągu

def.

Ciąg a_n ma granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy w dowolnym ε-lonowym otoczeniu liczby g znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n.

Granica funkcji w punkcie

sąsiedztwo

def. granicy funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

def. granicy funkcji w punkcie wg Heine'go (ciągowa)

def. granicy lewostronnej funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

def. granicy lewostronnej funkcji w punkcie wg Heine'go

def. granicy prawostronnej funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

def. granicy prawostronnej funkcji w punkcie wg Heine'go

Własności granicy funkcji

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

Ciągłość funkcji

def. ciągłości funkcji w punkcie

Funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x₀

def. ciągłości funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

Funkcja jest ciągła w punkcie x₀ gdy:

def. funkcji ciągłej w przedziale otwartym

Funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale otwartym wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału

def. funkcji ciągłej w przedziale zamkniętym

Funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale zamkniętym
wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła w (a,b), a
i

Własności funkcji ciągłych:

Tw.1.

zał:

f(x), g(x) są ciągłe w swojej dziedzinie

1.
jest ciągła

2.
jest ciągła

3.
jest ciągła

4.
jest ciągła

Tw.2.

Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła i ściśle monotoniczna dla
jest ciągła i ściśle monotoniczna dla

Tw. o ciągłości funkcji złożonej

Dana jest funkcja złożona

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀, a funkcja g(u) też jest ciągła w punkcie u₀, gdzie u₀=f(x₀) to funkcja
jest ciągła w punkcie x₀.

Tw. o możliwości wprowadzenia granicy do funkcji ciągłej

Jeżeli istnieje granica właściwa
oraz funkcja

jest ciągła w punkcie u₀=f(x₀) to

39. Asymptoty wykresu funkcji, wzory na pochodne, pochodna a monotoniczność funkcji

Asymptoty

def.

Asymptota to prosta o tej własności, że gdy punkt oddala się nieograniczenie od punktu (0,0) po wykresie, to jego odległość od tej prostej dąży do zera.

asymptota pionowa

Prostą o równaniu x=x₀ nazywamy asymptotą pionową krzywej o równaniu y=f(x), jeśli lewo- lub prawostronna granica funkcji w tym punkcie jest niewłasciwa, tzn.

Jeżeli obie te granice są niewłaściwe asymptota jest obustronna. Jeżeli tylko jedna z nich - jednostronna.

asymptota ukośna

Prostą o równaniu y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną krzywej o równaniu y=f(x), jeśli a i b są tak dobrane, że:

tzn.

asymptota pozioma

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, gdzie

Wzory na pochodne

c.n.d.

c.n.d.

Pochodna funkcji złożonej

Dana jest funkcja F(x)=f(g(x)).

Załóżmy, że funkcja g jest różniczkowalna w punkcie x oraz funkcja f jest różniczkowalna w punkcie g(x).

Wówczas:

F'(x)=f'(g(x)) g'(x)

Pochodna a monotoniczność funkcji

I.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym przedziale (a,b) i dla każdego

lub dla skończonej liczby argumentów

II.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym przedziale (a,b) i dla każdego

lub dla skończonej liczby argumentów

40. Ekstremum funkcji, definicje i reguły badania ekstremów

Maksimum i minimum noszą wspólną nazwę ekstremum funkcji.

Ekstremum właściwe

def.1.

minimum właściwe

Funkcja y=f(x) posiada w punkcie x₀ minimum właściwe

maksimum właściwe

Funkcja y=f(x) posiada w punkcie x₀ maksimum właściwe

def.2.

Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu
funkcja f jest różniczkowalna i z lewej strony punktu x₀ f'(x)>0, a z prawej jego strony f'(x)<0 (pochodna zmienia znak z + na-), to funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum właściwe. f'(x₀)=0

Jeżeli zaś w pewnym otoczeniu punktu
funkcja f jest różniczkowalna i z lewej strony punktu x₀ f'(x)<0, a z prawej jego strony f'(x)>0(pochodna zmienia znak z - na+), to funkcja f ma w punkcie x₀ minimum właściwe. f'(x₀)=0

Ekstremum lokalne

Jeżeli w pewnym niezerowym otoczeniu punktu x_0, f(x₀) jest największą wartością funkcji f(x) w tym otoczeniu, to w punkcie x₀ istnieje maksimum lokalne funkcji f(x)

Jeżeli w pewnym niezerowym otoczeniu punktu x_0, f(x₀) jest najmniejszą wartością funkcji f(x) w tym otoczeniu, to w punkcie x₀ istnieje minimum lokalne funkcji f(x)

Reguły badania ekstremum:

I.

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x₀ ekstremum i jest różniczkowalna w tym punkcie to f'(x)=0

(twierdzenie odwrotne jest fałszywe)

II.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

I.

Zał. y=f(x) jest ciągła w punkcie x₀ i jest różniczkowalna w jego sąsiedztwie

1.

w punkcie x₀ jest

maksimum właściwe

2.

w punkcie x₀ jest

minimum właściwe

II.

Jeżeli funkcja y=f(x) ma w otoczeniu
ciągłe pochodne f'(x₀) i f”(x₀) i f”(x₀)≠0

w punkcie x₀ funkcja f(x) posiada maksimum

w punkcie x₀ funkcja f(x) posiada minimum

41. Definicje i wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji, dwumian Newtona

Permutacją bez powtórzeń zbioru n- elementowego A={a₁, a₂,..., a_n}nazywamy każdy n- wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru, czyli każde uporządkowanie elementów zbioru A.

Permutacją z powtórzeniami zbioru n- elementowego A={a₁, a₂,..., a_n}, w której element a₁ występuje n₁ razy, element a₂ występuje n₂ razy,..., element a_n występuje n_k razy, przy czym n₁+n₂+...+n_k=n, nazywamy każdy

n- wyrazowy ciąg, w którym element a_i występuje n_i razy dla i=1, 2,...,k.

Kombinacją k- elementową bez powtórzeń zbioru n- elementowego A={a₁, a₂,..., a_n}
nazywamy każdy podzbiór k- elementowy tego zbioru.

Kombinacją k- elementową z powtórzeniami zbioru n- elementowego A={a₁, a₂,..., a_n} nazywamy każdy ciąg

(k₁, k₂,..., k_n) taki, że k₁+k₂+...+k_n=k, gdzie k_i∈N dla i=1, 2,..., n

wariacją k- elementową bez powtórzeń zbioru n- elementowego A={a₁, a₂,..., a_n}
nazywamy każdy

k- wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego wyrazami są elementy danego zbioru.

Wariacją k- elementową z powtórzeniami zbioru n- elementowego A={a₁, a₂,..., a_n} nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg , którego wyrazami są elementy danego zbioru.

Symbol Newtona

Dwumian Newtona

42. Definicje: zdarzenia, prawdopodobieństwa, własności, prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, niezależność pary zdarzeń, schemat Bernoulli'ego (zmienna losowa, wartość oczekiwana i wariancja M)

Zdarzeniem elementarnym nazywamy wynik pewnego doświadczenia

(oznaczamy
)

Zdarzeniem nazywamy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych (oznaczamy A, B, ...).

Przestrzenią zdarzeń elementarnych Ω nazywamy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.

Definicje prawdopodobieństwa:

1. Klasyczna - La Place'a

Jeżeli zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne

n_A - liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A

N - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

2. Aksjomatyczna

Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych.

Zdarzenia
jeżeli:

to na zbiorze Ω określone jest prawdopodobieństwo P(A).

Własności prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo warunkowe

def.

tw.

Prawdopodobieństwo warunkowe jest określone na zdarzeniach zbioru Ω.

(spełnia def. aksjomatyczną, tzn spełnia 3 aksjomaty)

dowód:

Prawdopodobieństwo całkowite

Tw.

Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych

dowód:

c.n.d.

Zdarzenia niezależne

Dwa zdarzenia
są niezależne

Schemat Bernoulli'ego

Prawdopodobieństwo k sukcesów w N próbach określa wzór:

gdzie:

p - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie (jednakowe dla wszystkich prób)

q - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie q=1-p

N - liczba prób

k - liczba sukcesów

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulli'ego

k₀ - najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów

jest ułamkiem wymiernym (nie jest liczbą całkowitą)

wtedy
- cecha liczby

jest liczbą całkowitą

to

Zmienna losowa

Zmienną losową X nazywamy funkcję określoną na zdarzeniach zbioru Ω i o wartościach rzeczywistych.

Rozkład zmiennej losowej

Rozkład zmiennej losowej to zbiór uporządkowanych par, w których pierwszy element pary x_i jest wartością zmiennej losowej, a drugi p_i jest prawdopodobieństwem z jakim ta wartość zachodzi.

Wartość oczekiwana

(nadzieja matematyczna)

x_i - wartość zmiennej losowej

p_i - prawdopodobieństwo z jakim zachodzi wartość zmiennej losowej

Wartość oczekiwana w schemacie Bernoulli'ego

dowód:

c.n.d.

Wariancja zmiennej losowej

Wariancja zmiennej losowej to miara rozrzutu zmiennej losowej.

Wariancja zmiennej losowej w schemacie Bernoulli'ego

dowód:

c.n.d.

43. Wektor, działania, długość, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, prostopadłość, równoległość, krzywa stopnia drugiego

Wektor zaczepiony
to uporządkowana para punktów, gdzie A jest początkiem a B końcem

Wektor swobodny jest to rodzina równych wektorów zaczepionych.

Wektor zerowy

Wektor przeciwny do
to
, gdzie

Współrzędne wektora (w przestrzeni)

Długość wektora

Równość wektorów

def.1.

Wektory są równe jeżeli są równoległe, mają ten sam zwrot i tą samą długość.

def.2.

Wektory są równe jeżeli ich odpowiednie współrzędne są równe

Własności równości wektorów:

Suma wektorów

Sumą wektorów nazywamy wektor, którego początkiem jest początek pierwszego wektora, a końcem koniec ostatniego wektora.

Różnica wektorów

Odejmowanie wektora
od wektora
jest równe sumie wektora
i wektora
przeciwnego do
.

Iloczyn wektora przez liczbę

Iloczynem wektora
przez liczbę m nazywamy wektor
mający długość
, kierunek ten sam co
i ten sam co
zwrot, gdy m>0 oraz zwrot przeciwny do
gdy m<0.

Iloczyn skalarny wektorów

def.1.

def.2.

Iloczyn wektorowy wektorów

Jest wykonalny tylko w przestrzeni trójwymiarowej. Wektor będący wynikiem mnożenia jest prostopadły do obu czynników.

Równoległość wektorów

Prostopadłość wektorów

44. Prosta, równania, proste równoległe, proste prostopadłe, odległość punktu od prostej, odległość prostych równoległych.

Postać kierunkowa prostej

y=ax+b

Postać ogólna prostej

Ax+By+C=0

Postać odcinkowa prostej

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Proste równoległe

Proste prostopadłe

Odległość punktu od prostej

Odległość prostych równoległych

45. Okrąg, równania - wyprowadzanie

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b) i promieniu r:

wyprowadzenie:

|MN|=y

|NO|=x

|MO|=r

z ∆MNO z tw. Pitagorasa

Aby otrzymać równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b), należy początkowy okrąg przesunąć o wektor [a,b]. Punkty (x',y') przesuniętego okręgu spełniają warunek:

lub

czyli

46. Zasada indukcji matematycznej, twierdzenia i zastosowanie

tw.

Jeżeli jakieś twierdzenie T(n) , w którym jest mowa o liczbie naturalnej jest prawdziwe dla liczby naturalnej n₀ i jeżeli dla każdej liczby naturalnej
prawdziwa jest implikacja
, to twierdzenie T(n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej
.

Schemat dowodu metodą indukcji matematycznej:

I.

Sprawdzenie prawdziwości wzoru dla np. n=1 i n=2.

II.

Ułożenie założenia indukcyjnego (że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla n=k)

III.

Postawienie tezy indukcyjnej (będzie udowadniane, że wzór jest prawdziwy dla wyrazu następnego czyli n=k+1, przy założeniu prawdziwości twierdzenia dla n=k).

IV.

Dowód.

Przykłady dowodów przeprowadzonych metodą indukcji matematycznej

przykład 1

przykład 2

przykład 3

przykład 4

47. Całka nieoznaczona, definicja, własności

W rachunku różniczkowym dla danej funkcji f(x) wyznaczało się f`(x). W rachunku całkowym wyznaczamy funkcję F(x), dla której znamy F'(x) tzn. wiadomo, że F'(x) = f(x), gdzie dane mamy f(x), a znaleźć należy F(x)

def. 1. funkcja pierwotna:

Funkcję pierwotną danej funkcji rzeczywistej f(x) w przedziale (a,b) nazywamy taką funkcję F(x), która ma własność:

F'(x) = f(x) dla

Przykład:

f(x) = cosx

ma funkcję pierwotną F(x) = sinx gdzie

bo F'(x) = cosx = f(x) dla

tw. 1.

Jeżeli f(x) ma w przedziale (a,b) funkcję pierwotną F(x) to f(x) ma w tym przedziale nieskończenie wiele tych funkcji pierwotnych. Każda z nich ma postać:

G(x) = F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą

Dowód:

W dowodzie wykażemy, że:

• Dla danej funkcji pierwotnej F(x) funkcja G(x) = F(x) +C, C = const, jest funkcją pierwotną funkcji f(x)

• Każdą funkcję pierwotną H(x) funkcji f(x) można uzależnić od tej danej F(x) i ta zależność ma postać H(x) = F(x) + C, gdzie C = const

dot. pierwszego:

Z założenia twierdzenia wiadomo, że F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x) w przedziale (a,b) tzn. F'(x) = f(x) w (a,b).

Weźmy G(x) = F(x) + C, C = const.

Wówczas G'(x) = [F(x) + C]' = F'(x) = f(x) dla

Czyli G(x) spełnia warunki definicji funkcji pierwotnej dla f(x)

dot. drugiego:

Weźmy dwie funkcje pierwotne dla f(x) w przedziale (a,b) daną F(x) i inna H(x)

tzn F'(x) = f(x) dla
H'(x) = f(x) dla

Zatem F'(x) - H'(x) = 0 dla

Zatem [F(x) - H(x)]' = 0 dla

Więc F(x) - H(x) + C, C = const

Czyli H(x) = F(x) +
, gdzie
= C (
- stałą dowolna)

Tzn. każdą funkcję pierwotną H(x) funkcji f(x) można przedstawić w postaci F(x) + C, C = const, a F(x) jest wyróżnioną funkcją pierwotną.

def. 2. całka nieoznaczona

Całką nieoznaczoną danej funkcji f(x) w przedziale (a,b) nazywamy zbiór wszystkich jej funkcji pierwotnych.

Całkę nieoznaczoną zapisujemy symbolem

Zatem
= F(x) + C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli F'(x) = f(x) dla
zaś C - dowolna stała

= F(x) +C
F'(x) = f(x) , C=const

UWAGA! F(x) + C, C = const przedstawia rodzinę funkcji

tw. 2.:

Każda funkcja f(x) ciągła w przedziale (a,b) ma swoją funkcję pierwotną F(x) a więc ma swoją całkę nieoznaczoną w przedziale (a,b)

podstawowe wzory:

1. 
   

2. 
   

3. 
   dla dowolnej liczby rzeczywistej n
   -1

4. 
   

5. 
   

6. 
   dla
   

7. 
   

8. 
   

9. 
   

10. 
    

11. 
    

12. 
    

13. 
    

14. 
    

15. 
    

16. 
    

Własności całki nieoznaczonej:

1. Jeżeli istnieje całka
   , to (
   )' = f(x)

2. 
   

3. 
   

4. 
   

48. Całka oznaczona, definicje, własności, zastosowanie.

def.

Wiemy, że jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej w pewnym przedziale, to każda funkcja pierwotna funkcji f(x) w tym przedziale ma postać F(x) + C, gdzie C jest stałą. Wynika stąd, że różnica

F(x₂) - F(x₁)

w punktach x₂ i x₁ rozpatrywanego obszaru jest taka sama dla każdej funkcji pierwotnej F funkcji f. Różnicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f od x₁ do x₂ i oznaczamy symbolem

[A]

Mamy więc dla każdej funkcji f ciągłej w przedziale
:

[B]

co zapisujemy także

lub

i czytamy: całka oznaczona funkcji f(x) dx w granicach od x₁ do x₂ równa się F(x) z podstawieniem górnym x₂ i dolnym x_i.

Dokładna definicja całki oznaczonej jest bardziej rozbudowana:

Weźmy pod uwagę funkcję f(x), o której będziemy stale zakładali, że jest ograniczona w przedziale domkniętym
, tzn. dla
.

Dokonajmy różnych podziałów P₁, P₂,..., P_m­, ... przedziału
na części. Niech podział P_m będzie osiągnięty przy pomocy n_m - 1 liczb
, przy czym

,

gdzie dla ułatwienia oznaczyliśmy liczbę a jako
, a liczbę b jako
. Będziemy nazywali przedziały
, gdzie
, przedziałami cząstkowymi podziału
, a ich długości
oznaczali przez
. Niech
oznacza największą z liczb
, czyli długość najdłuższego przedziału cząstkowego podziału
. Ciąg podziałów
nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli
.

Utwórzmy sumę
iloczynów wartości funkcji
w dowolnym punkcie
przedziału
przez długości
tych przedziałów przy podziale
:

[C]

Jeżeli ciąg
dla
jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów
niezależnie od wyboru punktów
, to funkcję
nazywamy funkcją całkowalną w przedziale
, a granicę ciągu [C] nazywamy całką oznaczoną funkcji
w granicach od a do b i oznaczamy symbolem

[D]

Można wykazać, że jeżeli przy jakimś ciągu normalnym podziałów ciąg
ma granicę niezależną od wyboru punktów
, to funkcja
jest całkowalna.

Jednym z prostych sposobów tworzenia ciągu normalnego podziałów jest kolejne przepoławianie przedziałów cząstkowych; wówczas

,
.

Można również wykazać, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna, a nawet ogólniej, że funkcja ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów jest całkowalna.

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Jeżeli w przedziale
jest
, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej
, odcinkiem osi Ox oraz prostymi x = a i
x = b równa się całce oznaczonej

Jeżeli zaś w przedziale
jest
, to analogiczne pole równa się

Zawsze więc pole wyżej określonego obszaru można wyrazić całką oznaczoną

Przez
, gdzie a > b, rozumiemy całkę
.

Przyjmujemy również, że

Własności całki oznaczonej

1. Addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania.

[E]

2. Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej.

[F]

W szczególności, gdy k = -1

3. Całka sumy równa się sumie całek.

[G]

Jest to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej.

Całka oznaczona posiada więc własność tzw. liniowości ( własność 2. i 3.). Wzory powyższe należy rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.

4. Prawdziwy jest wzór:

[H]

gdzie K jest pewną liczbą, spełniającą nierówność
, przy czym m oznacza kres dolny, a M kres górny funkcji f(x) w przedziale
.

Na podstawie własności Darboux mówiącej, że funkcja ciągła przybiera wszystkie wartości pośrednie między swymi kresami górnym i dolnym, wzór ten może przyjąć postać

[I]

gdzie c jest pewną liczbą, spełniającą nierówność
, jeżeli funkcja podcałkowa f(x) jest ciągła w przedziale
.

5. Całka jako funkcja górnej granicy.

Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale
, to funkcja

[J]

jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale
i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek

[K]

6. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną.

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale
, tzn. jeżeli
, to ma miejsce wzór

, [L]

przy czym oczywiście różnica
nie zależy od stałej całkowania C.
Wzór [L] nazywamy wzorem Leibniza-Newtona.

Uwaga. Prawą stronę powyższego wzoru oznacza się symbolem

lub
[M]

7. Całkowanie przez części dla całek oznaczonych.

Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to

[N]

Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.

8. Całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.

Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale
, a f(u) funkcją ciągłą w przedziale
, to zachodzi następujący wzór:

[O]

Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.

9. Jeżeli funkcja g różni się od funkcji h, całkowalnej na odcinku
   , tylko dla skończenie wielu argumentów z tego przedziału, to funkcja g również jest całkowalna i

[P]

Wnioski:

1°. Funkcja nieciągła tylko dla skończenie wielu punktów przedziału
i ograniczona w tym przedziale jest na nim całkowalna.

2°. Dla całkowalności funkcji ograniczonej w przedziale nie są istotne ani jej wartości, ani nawet określoność w końcach tego przedziału.

3°. Funkcja nieograniczona nie jest całkowalna (uwaga ta nie dotyczy tzw. całki niewłaściwej).

10. Znajdowanie długości łuku krzywej
    w przedziale
    .

długość
gdzie
[R]

Dla krzywej danej w postaci parametrycznej x = x(t), y = y(t),
mamy:

gdzie

[S]

Interpretacja fizyczna:

1°. Wiemy, że prędkość v(t) punktu P poruszającego się po osi OS jest pochodną drogi s(t) względem czasu t.

Droga S(t) jest więc funkcją pierwotną prędkości; stąd

2°. Praca jako całka siły. Niech f(s) oznacza miarę na osi OS wektora siły działającej na masę umieszczoną w punkcie o współrzędnej s. Praca wykonana przez tę siłę na przesunięcie masy z położenia
w położenie
, równa jest całce funkcji f(s) od
do
.

praca

C

γ

b a

R

O

β

B

α c

A α

C'

B

β

c a

γ

C

α

A b

B

q

D

h p

C A

D

z

G

z y

r C

H

r

O y

u r

F

r

A

x

u

E

x

B

α

δ

γ

2β

2α

β

A

O B

r

C

β

δ γ

O

α

δ

A γ

B

C

O

A

B

C

E

F

O

A

D B

A

D

b c

C a B

a b

f₁ f₂

b c

a

c

f₅

a c

f₄ c

f₃ b

b a

C

B' A'

O

A C' A” B

figura A figura B

1 2 4

h h h

3

a a a

są przystające

są przystające

ć

ć

ć

ć

---