Powstanie rachunku prawdopodobieństwa - połowa XVII wieku.

Bezpośrednia przyczyna - gry hazardowe.

Pierwsi matematycy zajmujący się problemami probabilistycznymi:

- B. Pascal (1623-1662),

- P. Fermat (1601-1661),

- J. Bernoulli (1654-1705).

Przez długi czas rachunek prawdopodobieństwa nie był uważany za dyscyplinę matematyczną - pojęcie prawdopodobieństwa nie było ściśle sprecyzowane.

W 1933 roku A. Kołmogorow przedstawił rachunek prawdopodobieństwa jako teorię aksjomatyczną.

Niech n oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, zaś k - liczbę naturalną bądź zero.

Jeśli n jest liczbą całkowitą nie mniejszą od k, otrzymujemy:

Udowodnić:

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych elementów.

Permutacją zbioru Z nazywamy każde uporządkowanie elementów zbioru Z.

Istnieje permutacji zbioru Z.

Zadanie:

Ile liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5 w taki sposób, żeby żadna cyfra w liczbie się nie powtarzała?

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych elementów.

k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru Z

nazywamy każdą permutację k-elementową należącą do zbioru Z.

Liczba k-wyrazowych permutacji zbioru Z wyraża się wzorem:

Zadanie:

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których żadna cyfra się nie powtarza?

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych elementów.

k-wyrazową permutacją z powtórzeniami nazywamy każde uporządkowanie k elementów zbioru Z, z których nie wszystkie elementy muszą być różne.

Liczba k-wyrazowych permutacji z powtórzeniami wyraża się wzorem:

Zadanie:

Iloma sposobami można rozmieścić n ziaren w m pudełkach?

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych elementów.

Każdy podzbiór złożony z k różnych elementów zbioru Z nazywamy k-elementową kombinacją bez powtórzeń.

Liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru Z określona jest wzorem:

Zadanie:

Na płaszczyźnie danych jest n punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Ile różnych prostych wyznaczają te punkty?

W rachunku prawdopodobieństwa jako pojęcie pierwotne przyjmuje się zbiór zdarzeń elementarnych związanych z danym doświadczeniem losowym.

Zbiór będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych.

Definicja 1.

Zdarzeniem losowym lub krótko zdarzeniem , nazywamy każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych .

Definicja 2.

Zdarzeniem pewnym nazywamy całą przestrzeń zdarzeń elementarnych .

Definicja 3.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy podzbiór pusty przestrzeni .

Definicja 4.

Mówimy, że zdarzenie A jest zawarte w zdarzeniu B jeżeli każde zdarzenie elementarne należące do A należy także do B.

Definicja 5.

Alternatywą lub sumą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą przynajmniej do jednego ze zdarzeń A i B, co oznaczamy symbolem .

Definicja 6.

Koniunkcją lub iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, Które należą do obu zdarzeń A i B, co oznaczamy symbolem .

Definicja 7.

Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą do zdarzenia A, ale nie należą do zdarzenia B, co oznaczamy symbolem .

Definicja 8.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie B składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie należą do zdarzenia A, co oznaczamy symbolem .

Definicja 9.

Mówimy, że zdarzenia A i B wyłączają się, jeżeli

Działania na zdarzeniach podlegają następującym prawom:

rozdzielność koniunkcji względem alternatywy

rozdzielność alternatywy względem koniunkcji

Prawa De Morgana.

Rozważmy doświadczenie losowe kończące się zawsze dokładnie jednym spośród m jednakowych wyników. Jeżeli zdarzeniu A sprzyja l spośród tych wyników, to prawdopodobieństwem P(A) zdarzenia A nazywamy liczbę.

Zdanie „zdarzeniu A sprzyja l wyników” rozumiemy następująco: zdarzenie A zrealizuje się, gdy doświadczenie kończy się którymkolwiek z l określonych wyników, i nie realizuje się, gdy kończy się którymkolwiek z m-l pozostałych wyników.

---