Konstrukcja modelu ekonometrycznego

1. Ogólny model ekonometryczny z wieloma zmiennymi

Zmienną objaśnianą Y jest ilość dzieci przebywających w żłobkach w tys. osób, która w 10-ciu kolejnych latach przedstawiała się następująco:

t	Y
1990	137,5
1991	121,8
1992	100,4
1993	96,1
1994	81,7
1995	69,3
1996	66,2
1997	64,9
1998	61,6
1999	58,3

Zmiennymi objaśniającymi są:

Z₁- liczba dzieci w wieku od 0 do 3 lat w tys. osób

Z₂- zatrudnienie ogółem w 100 tys. osób

Z₃- rodzice samotnie wychowujący dzieci w tys. osób

Z₄- przeciętne wynagrodzenie miesięczne w zł

Z₅- liczba zachorowań wśród dorosłych na 10 tys. osób

Wartości zmiennych objaśniających są następujące:

t	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Y
1990	1823,4	164,847	1396	465,8	2192,5	137,5
1991	1762,8	163,482	1402	471,2	2201,3	121,8
1992	1669,7	161,243	1458	487,6	2212,1	100,4
1993	1523,2	159,876	1493	498,9	2243,2	96,1
1994	1498,7	156,835	1554	511,4	2289,8	81,7
1995	1441,6	154,857	1580	560,6	2304,4	69,3
1996	1392,4	159,348	1621	721,3	2342,7	66,2
1997	1358,2	162,945	1698	877,3	2368,3	64,9
1998	1282,0	162,671	1703	1026,7	2394,2	61,6
1999	1121,8	161,342	1742	1130,2	2427,6	58,3

Otrzymałyśmy macierz Z = [Z_tj] _n×p

Z =

oraz wektor Y = [y_t] _n×1

Y =

2. Standaryzacja zmiennych

Zmienną Y oraz zmienną Z_j, nazywamy zmiennymi standaryzowanymi, jeśli spełniają one warunki:

1. 
   = 0,
   = 0, j = 1,..., p;

2. S_y = 1, S_zj = 1, j = 1,..., p; gdzie:

=

,
=

, j = 1,..., p;

S
=

(y_t -
)², S
=

(z_tj -
)².

Standaryzacji zmiennych dokonujemy przez zastąpienie zmiennych przed standaryzacją Y i Z_j zmiennymi Y(S) oraz Z_j(S), gdzie Y(S) = [y_t(S)] _n×1, Z_j(S) = [z_tj(S)] _n×p, przy czym

Y_t(S) =
, t = 1,..., n,

Z_tj(S) =
, t = 1,…, n, j = 1,…, p.

Otrzymałyśmy wystandaryzowaną macierz Z_j(S) oraz wystandaryzowany wektor Y(S).

Z_j(S) =

Y(S) =

3. Wyznaczanie pary korelacyjnej

Miarą podobieństwa dwóch zmiennych jest ich współczynnik korelacji, który będziemy oznaczali r(.,.) i obliczali zgodnie ze wzorem

r( Z_i, Z_j ) =

r( Y, Z_j ) =

Współczynnik korelacji jest wielkością unormowaną

-1 ≤ r (Z_i, Z_j) ≤ 1

-1 ≤ r (Y, Z_i) ≤ 1 i, j = 1,2,...,p,

Jego bezwzględna wartość bliska jedności świadczy o silnej współzależności dwóch zmiennych.

Jeśli przez R(p) = [r_ij]_p×p oznaczymy macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi należącymi do zbioru A(p) = {Z₁, Z₂, ..., Z_p}, czyli jeśli

r_ij = r(Z_i, Z_j) i, j = 1,2,...,p,

natomiast przez R₀(p) = [r_i]_p×1 oznaczymy wektor współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą Y, a zmiennymi należącymi do zbioru A(p), tzn.

r_i = r(Y, Z_i), i = 1,2,...,p;

to otrzymujemy

R(p) =
[Z(S)]^T Z(S)

R₀(p) =
[Z(S)]^T y(S)

Macierz R(p) nazywamy macierzą korelacji, natomiast wektor R₀(p) wektorem korelacji. Uporządkowaną parę (R(p), R₀(p)) nazywamy parą korelacyjną.

Macierz korelacji R(p) jest macierzą symetryczną, na głównej przekątnej posiada elementy równe jeden.

1,000 0,272 -0,971 -0,881 -0,971

0,272 1,000 -0,168 0,184 -0,146

R = -0,971 -0,168 1,000 0,914 0,992

-0,881 0,184 0,914 1,000 0,932

-0,971 -0,146 0,992 0,932 1,000

0,943

0,447

R₀ = -0,939

-0,750

-0,918

4. Wybór optymalnego zbioru zmiennych objaśniających.

Dobierając zmienne objaśniające do modelu zazwyczaj wykorzystujemy współczynnik korelacji, a więc parę korelacyjną ( (R(p), R₀(p) ).

Istnieje szereg metod na podstawie których można wybrać wektor zmiennych objaśniających. My wykorzystamy metodę doboru Z. Hellwiga. Aby stwierdzić, które ze zmiennych zbioru A(p) należy uwzględnić jako zmienne objaśniające modelu rozpatrujemy wszystkie możliwe podzbiory zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających. Jeśli jest on p-elementowy to podzbiorów tych mamy 2^p-1, przy tym podzbiorów j-elementowych jest (
), a rodzinę podzbiorów j-elementowych oznaczamy przez B(j).

W każdej z rodzin B(j) wprowadzamy porządek leksykograficzny, zgodnie z którym element B_r(j) = { Z₁₁, Z₁₂, ... , Z_1j }, poprzedza element B_s(j) = { Z_t1, Z_t2, ... , Z_tj }, jeśli istnieje takie 1 ≤ q ≤ j, że t₁ = 1₁, t₂ = 1₂, ... , t_q-1 = 1_q-1 oraz 1_q < t_q.

Przez B_i(j) oznaczymy i-ty z kolei podzbiór j-elementowy zbioru A(p).

Niech R_i(j) oznacza macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi należącymi do zbioru B_i(j). Przez R_i⁰(j) oznaczymy wektor współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą Y, a potencjalnymi objaśniającymi należącymi do B_i(j).

Para korelacyjna ( R_i(j), R_i⁰(j) ) określa model, którego zmienną objaśnianą jest Y, natomiast zmiennymi objaśniającymi są elementy zbioru B_i(j).

Dla każdego z modeli wyznaczamy liczbę H_i(j), zwaną integralną pojemnością informacyjną w sensie Z. Hellwiga, zgodnie ze wzorem

H_i(j) =
,

gdzie:

r_it = r ( Y, Z_it ) - czyli składowe o numerze t wektora R_i⁰(j),

S_it - suma wartości bezwzględnych elementów kolumny o numerze t macierzy R_i(j).

Optymalny zbiór zmiennych objaśniających wyznaczamy metodą Z. Hellwiga. Jest to taki podzbiór, dla którego liczba H_i(j), przyjmuje wartość maksymalną.

Właściwością pojemności informacyjnej H jest 0 ≤ H_i(j) ≤ 1 dla dowolnej pary korelacyjnej ( R_i(j), R_i⁰(j) ).

Pojemność informacyjna H_i(j) mówi nam ile informacji o zmiennej Y wnosi nam kombinacja zmiennych objaśniających B_i(j).

Zbiory jednoelementowe

B₁(1) = { Z₁ }

R₁(1) = [ 1 ] R₀₁(1) = [ 0,943 ]

H₁(1) =
= 0,889

B₂(1) = { Z₂ }

R₂(1) = [ 1 ] R₀₂(1) = [ 0,447 ]

H₂(1) = 0,199

B₃(1) = { Z₃ }

R₃(1) = [ 1 ] R₀₃(1) = [ -0,939 ]

H₃(1) = 0,881

B₄(1) = { Z₄ }

R₄(1) = [ 1 ] R₀₄(1) = [ -0,750 ]

H₄(1) = 0,562

B₅(1) = { Z₅ }

R₅(1) = [ 1 ] R₀₅(1) = [ -0,918 ]

H₅(1) = 0,843

Zbiory dwuelementowe

B₁(2) = { Z₁, Z₂ }

R₁(2) =
R₀₁(2) =

H₁(2) =

B₂(2) = { Z₁, Z₃ }

R₂(2) =
R₀₂(2) =

H₂(2) =

B₃(2) = { Z₁, Z₄ }

R₃(2) =
R₀₃(2) =

H₃(2) = 0,771

B₄(2) = { Z₁, Z₅ }

R₄(2) =
R₀₄(2) =

H₄(2) = 0,879

B₅(2) = { Z₂, Z₃ }

R₅(2) =
R₀₅(2) =

H₅(2) = 0,925

B₆(2) = { Z₂, Z₄ }

R₆(2) =
R₀₆(2) =

H₆(2) = 0,643

B₇(2) = { Z₂, Z₅ }

R₇(2) =
R₀₇(2) =

H₇(2) = 0,909

B₈(2) = { Z₃, Z₄ }

R₈(2) =
R₀₈(2) =

H₈(2) = 0,754

B₉(2) = { Z₃, Z₅ }

R₉(2) =
R₀₉(2) =

H₉(2) = 0,866

B₁₀(2) = { Z₄, Z₅ }

R₁₀(2) =
R₀₁₀(2) =

H₁₀(2) = 0,727

Zbiory trzyelementowe

B₁(3) = { Z₁, Z₂, Z₃ }

R₁(3) =
R₀₁(3) =

H₁(3) =

B₂(3) = { Z₁, Z₂, Z₄ }

R₂(3) =
R₀₂(3) =

H₂(3) = 0,822

B₃(3) = { Z₁, Z₂, Z₅ }

R₃(3) =
R₀₃(3) =

H₃(3) = 0,934

B₄(3) = { Z₁, Z₃, Z₄ }

R₄(3) =
R₀₄(3) =

H₄(3) = 0,819

B₅(3) = { Z₁, Z₃, Z₅ }

R₅(3) =
R₀₅(3) =

H₅(3) = 0,884

B₆(3) = { Z₁, Z₄, Z₅ }

R₆(3) =

R₀₆(3) =

H₆(3) = 0,802

B₇(3) = { Z₂, Z₃, Z₄ }

R₇(3) =
R₀₇(3) =

H₇(3) = 0,839

B₈(3) = { Z₂, Z₃, Z₅ }

R₈(3) =
R₀₈(3) =

H₈(3) = 0,9558

B₉(3) = { Z₂, Z₄, Z₅ }

R₉(3) =
R₀₉(3) =

H₉(3) = 0,822

B₁₀(3) = { Z₃, Z₄, Z₅ }

R₁₀(3) =
R₁₀(3) =

H₁₀(3) = 0,788

Zbiory czteroelementowe

B₁(4) = { Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ }

R₁(4) =
R₀₁(4) =

H₁(4) =

B₂(4) = { Z₁, Z₂, Z₃, Z₅ }

R₂(4) =
R₀₂(4) =

H₂(4) = 0,9549

B₃(4) = { Z₁, Z₂, Z₄, Z₅ }

R₃(4) =
R₀₃(4) =

H₃(4) = 0,872

B₄(4) = { Z₁, Z₃, Z₄, Z₅ }

R₄(4) =
R₀₄(4) =

H₄(4) = 0,827

B₅(4) = { Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ }

R₅(4) =
R₀₅(4) =

H₅(4) = 0,880

Zbiory pięcioelementowe

B₁(5) = { Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ }

R₁(5) =

R₀₁(5) =

H₁(5) =

Metoda Z. Hellwiga wyznaczyła nam model postaci:

Y = β₁Z₁ + β₂Z₂ + β₃Z₃ + ξ ,

określony parą korelacyjną ( R₈(3), R₈⁰(3) ), gdzie:

Y - ilość dzieci przebywająca w żłobkach

Z₁ - zatrudnienie ogółem w 100 tys. osób,

Z₂ - rodzice samotnie wychowujący dzieci w tys. osób

Z₃ - liczba zachorowań wśród dorosłych na 10 tys. osób

przyjmują wartości

t	Z1	Z2	Z3	Y
1990	164,847	1396	2192,5	137,5
1991	163,482	1402	2201,3	121,8
1992	161,243	1458	2212,1	100,4
1993	159,876	1493	2243,2	96,1
1994	156,835	1554	2289,8	81,7
1995	154,857	1580	2304,4	69,3
1996	159,348	1621	2342,7	66,2
1997	162,945	1698	2368,3	64,9
1998	162,671	1703	2394,2	61,6
1999	161,342	1742	2427,6	58,3

R₈(3) =
R₈⁰(3) =

5. Wyznaczanie regularnej pary korelacyjnej.

Regularna para korelacyjna to taka para korelacyjna, w której wektor korelacji R₀ nie zawiera ujemnych składowych i elementy wektora umieszczone są w kolejności rosnącej.

By para korelacyjna naszego modelu była regularną parą korelacyjną, wektor korelacji R₀ musiałby przyjąć postać:

0,447

R₀ = 0,918

0,939

a macierz korelacji R

1,000 0,146 0,168

R = 0,146 1,000 -0,992

0,168 -0,992 1,000

10×5

10×1

10×5

10×1

---