ŚCINANIE - Wstęp

„ Zniszczenie elementów żelbetowych w wyniku działania sił poprzecznych (ścinanie) wynika ze skomplikowanego

i nie do końca wyjaśnionego mechanizmu, związanego z wielkością i rodzajem obciążenia, wymiarami i kształtem geometrycznym przekroju poprzecznego oraz właściwościami betonu i stali zbrojeniowej.”

Andrzej Łapko, „Projektowanie konstrukcji żelbetowych”,

Arkady 2000 r.

W poniższym wydaniu usunięto podkreślony fragment.

A. Łapko, B.Ch. Jansen, „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”,

Arkady, 2005 r.

Wybrane pozycje z literatury

Mörsch Emil: Der Eisenbeton, seine Theorie und Anwendung, Bd 1, Verlag K. Witter, Studgart, 1929.

Borisznskij M.S.: Rasczet ortogonalnych stierzniej i chomutow w izgibajemych elemientach po stadii razruszenija. Strojizdat, Moskwa, 1946.

Regan P.E.: Research on shear: a benefit to humanity

or a waste of time?, The Structural Engineer, Vol 71, No 19/5, October 1993.

Godycki-Ćwirko T.: Ścinanie w żelbecie, Arkady, 1968.

Godycki-Ćwirko T.: Ścinanie, Komentarz naukowy do

PN-B- 03264:2002 Konstrukcje betonowe, żelbetowe I sprężone, Warszawa 2003.

ŚCINANIE

Wiadomości ogólne

Nośność zginanej belki żelbetowej sprawdza się oddzielnie ze względu na działanie momentu zginającego (w przekroju prostopadłym do osi podłużnej) i siły poprzecznej

(w przekroju ukośnym do osi). Na etapie projektowania trudno jest rozstrzygnąć, która z sił wewnętrznych doprowadzi do wyczerpania nośności elementu.

W wyniku działania momentu zginającego powstają w

przekrojach belki naprężenia normalne σ, ściskające i rozciągające. Na skutek tego pojawią się rysy prostopadłe do osi elementu (w strefie rozciąganej) lub nastąpi zmiażdżenie betonu (w strefie ściskanej).

Siła poprzeczna natomiast, która usiłuje ściąć i przesunąć względem siebie poszczególne elementy belki, powoduje powstanie naprężeń stycznych.

W belce swobodnie podpartej, równomiernie obciążonej, niezarysowanej naprężenia normalne osiągają maksimum w środku belki, a naprężenia styczne są największe przy

podporach.

Analizując stan naprężeń belki, można wykazać, że zagadnienie ścinania jest ściśle powiązane z naprężeniami głównymi, które oblicza się ze wzorów:

- naprężenia główne rozciągające

- naprężenia główne ściskające

gdzie: σ = M / (I ⋅ z)

τ = V ⋅ S / (b ⋅ I)

M, V - moment zginający i siła poprzeczna,

I - moment bezwładności przekroju względem osi

obojętnej,

S - moment statyczny względem osi obojętnej

części przekroju od rozpatrywanego pasma do

skrajnego włókna,

b - szerokość przekroju,

z - odległość rozpatrywanego włókna od osi

obojętnej.

Na osi obojętnej naprężenia normalne σ = 0, wtedy naprężenia główne σ₁ = - σ₂ = τ.

Nośność na ścinanie elementów zginanych zależy głównie od wartości naprężeń ścinających τ, które zależą od sił poprzecznych.

W obliczeniach konstrukcji żelbetowych po zarysowaniu przyjmuje się uproszczony wzór

gdzie: z = 0,9 d

W elementach żelbetowych istotny wpływ na charakter zniszczenia ma kierunek działania naprężeń głównych, który ilustrują trajektorie naprężeń głównych.

Trajektorie są to linie, do których kierunki działania naprężeń głównych są styczne.

Na rysunku pokazano przebieg trajektorii naprężeń głównych w belce z materiału jednorodnego, swobodnie podpartej, który jest w przybliżeniu taki sam jak w niezarysowanej belce żelbetowej.

Inaczej układa się wykres trajektorii naprężeń głównych w żelbetowej belce zarysowanej. Od momentu zarysowania zmienia się radykalnie stan naprężeń w belce żelbetowej. W strefie rozciąganej pomija się współpracę betonu w przenoszeniu naprężeń.

Od chwili powstania rys ukośnych naprężenia spowodowane ścinaniem są przenoszone przez zbrojenie poprzeczne, czyli strzemiona i pręty odgięte (pręty podłużne i beton ściskany przenoszą ścinanie w niewielkim stopniu).

Nośność na ścinanie jest zapewniona w belce przez odpowiednio rozmieszczone zbrojenie poprzeczne. Zadaniem projektanta jest dobranie przekroju strzemion i prętów odgiętych i rozmieszczenie ich na odcinkach, na których nośność samego betonu na ścinanie nie jest wystarczająca.

Model kratownicowy elementów ścinanych

Teoretyczne podstawy obliczania nośności na ścinanie opracował w latach dwudziestych XX wieku E. Mörsch.

Modelem strefy ścinania belki żelbetowej jest kratownica zastępcza, stąd teoria ta nosi nazwę analogii kratownicowej.

A - pas ściskany, B - krzyżulce ściskane, C - pas rozciągany, D - zbrojenie na ścinanie

Kratownica zastępcza zbudowana jest z następujących elementów:

- pasa ściskanego, którym jest beton strefy ściskanej,

- pasa rozciąganego, którym jest zbrojenie podłużne w

strefie rozciąganej,

- strefy ścinania, która jest położona pomiędzy

wypadkowymi sił F_cd oraz F_td.

Wysokość strefy ścinania jest równa ramieniu sił wewnętrznych przyjmowanemu umownie jako z = 0,9 d.

Strefę ścinania tworzą:

- betonowe krzyżulce ściskane nachylone pod kątem θ do

osi elementu (modelują ukośne siły ściskające

przenoszone przez beton),

- krzyżulce rozciągane nachylone pod kątem α (są one

modelem zbrojenia poprzecznego).

Przyjęto model kratownicy o zmiennym kącie θ nachylenia ściskanych krzyżulców betonowych.

Załącznik krajowy normy EC2 określa graniczne wartości cot θ. Może on przybierać dowolne wartości z przedziału określonego nierównością:

1,0 ≤ cot θ ≤ 2,0

co odpowiada wartościom kąta θ zawartym w przedziale

26,7° ≤ θ ≤ 45°.

Przyjmowanie możliwie największych wartości cot θ pozwala na oszczędne projektowanie przekroju zbrojenia poprzecznego.

Okazuje się, że po przyjęciu cot θ = 1,0 obliczony stopień zbrojenia strzemionami będzie prawie o 100% większy niż w przypadku, gdy cot θ = 2,0.

Należy zaznaczyć, że norma EC2 określa graniczne wartości cot θ jako:

1,0 ≤ cot θ ≤ 2,5

Tak więc w projektowaniu można w większości przypadków zakładać cot θ = 2,0, co zapewni oszczędne i bezpieczne przyjęcie przekroju strzemion.

Kąt α nachylenia zbrojenia poprzecznego uwzględnianego w obliczeniach nie może być mniejszy niż 45°, przyjmujemy więc α = 45°.

Model kratownicy zastępczej upraszcza się zdecydowanie, jeżeli zbrojenie belki składa się wyłącznie ze zbrojenia podłużnego i strzemion pionowych.

Strefa ścinania składa się z:

- betonowych krzyżulców ściskanych nachylonych pod

kątem θ,

- pionowych słupów rozciąganych, którymi są strzemiona.

Uproszczona kratownica jest statycznie wyznaczalna, można więc łatwo wyliczyć siły w zbrojeniu i betonie.

Powierzchnię strzemion wyliczamy, zakładając, że

przejmują one całą siłę poprzeczną V.

Sytuacja się komplikuje, gdy chcemy jednocześnie uwzględnić pręty odgięte, strzemiona i beton.

Kratownica staje się statycznie niewyznaczalna i stopień wykorzystania któregoś z elementów trzeba założyć.

Nośność na ścinanie

Sprawdzenie stanu granicznego nośności na ścinanie polega na wykazaniu, że na każdym odcinku, który można wydzielić z elementu, jest spełniony warunek:

VEd ≤ VRd

gdzie: V_Ed - obliczeniowa siła poprzeczna,

V_Rd - obliczeniowa nośność na ścinanie.

Obliczeniowa nośność na ścinanie V_Rd jest równa jednej z trzech nośności, którymi są V_Rd,c, V_Rd,s, V_Rd,max :

V_Rd,c - nośność elementu bez zbrojenia na ścinanie,

V_Rd,s - nośność zbrojenia obliczonego na ścinanie,

V_Rd,max - nośność ściskanych krzyżulców betonowych.

Przypadki obliczeniowe

W obliczeniach nośności na ścinanie można wyróżnić trzy przypadki i związane z nimi warunki:

1. odcinki elementu, na których spełniony jest warunek:

V_Ed ≤ V_Rd,c

nie wymagają obliczanie zbrojenia na ścinanie,

2. odcinki elementu, na których spełniony jest warunek:

V_Ed > V_Rd,c

muszą mieć odpowiednio zaprojektowane zbrojenie

poprzeczne wystarczające dla spełnienia warunku

V_Ed ≤ V_Rd,s

*(dla 1 i 2 zawsze musi być V_Ed ≤ V_Rd,max)

3. warunek V_Ed > V_Rd,max

oznacza, że element trzeba zaprojektować na nowo, zmieniając np. jego przekrój lub klasę betonu.

Elementy nie wymagające

obliczenia zbrojenia na ścinanie

Odcinki elementu, na których spełniony jest warunek

V_Ed ≤ V_Rd,c

nie wymagają obliczania zbrojenia na ścinanie.

W przypadku małych wartości sil poprzecznych (V_Ed) przekrój betonowy ma wystarczającą nośność (V_Rd,c) do przeniesienia naprężeń ścinających.

Należy zastosować minimalne zbrojenie na ścinanie spełniające normowe warunki konstrukcyjne.

Wartość obliczeniowa nośności na ścinanie V_Rd,c określana jest na podstawie empirycznych wzorów:

V_Rd,c = *C_Rd,c k (100 ρ_l f_ck)^1/3 + k₁ σ_cp* b_w d

lecz nie mniej niż

V_Rd,c = (ν_min + k₁ σ_cp) b_w d

W powyższych wzorach:

f_ck - wytrzymałość charakterystyczna wyrażona w MPa

k = 1 +

k₁ = 0,15

C_Rd,c = 0,18/γ_c

ν_min = 0,35 k^3/2 f_ck^1/2

σ_cp = N_Ed / A_c ≤ 0,2 f_cd

A_s1 - pole przekroju zbrojenia rozciaganego, które sięga na

odległość nie mniejszą niż (l_bd + d) poza rozważany

przekrój

Przyjmując:

C_Rd,c = 0,18/γ_c = 0,18/1,4 = 0,128 oraz

σ_cp = 0 (brak siły podłużnej N wywołanej przez obciążenie lub sprężenie) otrzymujemy prostsze wzory:

V_Rd,c = *0,128 k (100 ρ_l f_ck)^1/3 * b_w d

lecz nie mniej niż

V_Rd,c = ν_min b_w d

Elementy wymagające

obliczenia zbrojenia na ścinanie

Odcinki elementu, na których spełniony jest warunek

V_Ed > V_Rd,c i V_Ed ≤ V_Rd,max

wymagają obliczania zbrojenia na ścinanie.

Wtedy nośność na ścinanie V_Ed = min( V_Rd,s ; V_Rd,max)

W praktyce stosowane są dwa rodzaje zbrojenie na ścinanie:

1. strzemionami pionowymi,

2. strzemionami i prętami odgiętymi.

Przyjmujemy najbardziej popularne rozwiązanie, czyli zbrojenie na ścinanie tylko strzemionami pionowymi wtedy:

V_Rd,s - nośność zbrojenia obliczonego na ścinanie w momencie gdy osiąga ono granicę plastyczności liczona jest ze wzoru:

V_Rd,max- nośność ściskanych krzyżulców betonowych w momencie gdy następuje ich zmiażdżenie określa wzór:

We wzorach:

A_sw - pole przekroju zbrojenia na ścinanie,

s - rozstaw strzemion,

z - ramię sił wewnętrznych z = 0,9 d

f_ywd - obliczeniowa granica plastyczności zbrojenia na

ścinanie,

α_cw - współczynnik zależny od stanu naprężeń w pasie

ściskanym; dla elementów niesprzężonych α_cw = 1,0

ν - współczynnik redukcji wytrzymałości betonu

zarysowanego przy ścinaniu;

ν = ν₁ = 0,60(1 - f_ck / 250),

(jeżeli naprężenie obliczeniowe w zbrojeniu na

ścinanie jest mniejsze niż 80% f_yk to wartość ν₁

można przyjąć jako równą ν₁ = 0,6 ale jednocześnie

należy wartość f_ywd zmniejszyć do 0,8 f_ywd)

Procedura obliczania zbrojenia na ścinanie

w postaci strzemion pionowych

• W przypadku gdy V_Ed > V_Rd,c - konieczne jest obliczenie zbrojenia poprzecznego na odcinku elementu o długości a_w2.

• Długość odcinka l_w zwanego odcinkiem ścinania dla belek równomiernie obciążonych wynosi:

• Zakładamy wstępnie średnicę i liczbę ramion strzemion (m = 2 lub m = 4) co określa nam pole przekroju A_sw. Przyjmujemy klasę stali dla strzemion, czyli f_ywd. Przyjmujemy cotθ ( najczęściej cotθ = 2,0).

• Zakładamy, że całą siłę poprzeczną muszą przenieść strzemiona V_Rd,s = V_Ed. Wymagany rozstaw strzemion s obliczamy z przekształconego wzoru na V_Rd,s

Przyjmując w uproszczeniu z = 0,9 d i podstawiając

cotθ = 2,0 otrzymujemy

• Sprawdzenie czy dla założonego cotθ spełniony jest warunek V_Ed ≤ V_Rd,max

• Sprawdzenie minimalnego stopnia zbrojenia strzemionami

Zbrojenie podłużne

w elementach obliczanych na ścinanie

Przyjęty model kratownicy wymaga dodatkowej kontroli przyrostu siły podłużnej ΔF_td w zbrojeniu na zginanie, wywołanej przez siłę poprzeczną V_Ed.

Przyrost ten można obliczyć ze wzoru:

ΔF_td = 0,5V_Ed(cotθ - cotα)

Zatem całkowita siła w rozciąganym zbrojeniu podłużnym wynosi:

F_s = M_Ed / z + ΔF_td

Przy czym musi być spełniony warunek:

M_Ed / z + ΔF_td ≤ M_Ed,max / z

gdzie: M_Ed,max jest maksymalnym momentem na długości

elementu

Powyższy sposób obliczania przyrostu podłużnej siły rozciągającej ΔF_td można określić jako „dodawanie”.

Drugi sposób określania przyrostu ΔF_td można nazwać „rozsuwaniem”. Polega on na przesunięciu obwiedni momentów M_Ed o odcinek a_l.

Długość odcinka rozsunięcia linii obwiedni i linii nośności zbrojenia na zginanie oblicza się ze wzoru:

a_l = 0,5 z(cotθ - cotα)

Ilustrację tego sposobu pokazuje rysunek 9.2 z normy EC2.

Z rysunku wynika, że podłużne zbrojenie rozciągane musi być należycie zakotwione poza przekrojem, w którym powstaje największa siła V_Ed, (na długości l_bd).

Wybrane warunki konstrukcyjne

kształtowania zbrojenia na ścinanie

- Stopień zbrojenia na ścinanie

- Maksymalny podłużny rozstaw strzemion

s_l,max = 0,75d

- Maksymalny poprzeczny rozstaw strzemion

s_t,max = 0,75d ≤ 600 mm

- Jeżeli zbrojenie na ścinanie jest obliczeniowo potrzebne

to strzemiona powinny przenosić siłę poprzeczną o

wartości równej co najmniej 0,5 V_Ed.

---