Oznaczenia
R(t) − funkcja niezawodności,
F(t) − funkcja zawodności,
ET − oczekiwany czas zdatności,
r(t) − pozostały oczekiwany czas zdatności,
f(t) − gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia,
λ(t) − intensywność uszkodzeń,
μ(t) − intensywność odnowy.
Wzory ogólne
,
,
Rozkład wykładniczy czasu zdatności elementu
λ − intensywność uszkodzeń elementu
Dla elementu:
,
,
,
− dla rozkładu wykładniczego intensywność uszkodzeń elementu jest stała
− oczekiwany czas zdatności elementu,
− oczekiwany czas zdatności urządzenia,
− pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,
Rozkład jednostajny czasu zdatności elementu
k − kres górny czasu zdatności elementu
Dla elementu:
,
−
,
− oczekiwany czas zdatności elementu,
− oczekiwany czas zdatności urządzenia,
− pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,
Struktury niezawodnościowe
− szeregowa
Funkcja niezawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji niezawodności poszczególnych elementów:
Intensywność uszkodzeń takiej struktury jest równa sumie intensywności uszkodzeń poszczególnych elementów:
− równoległa
Funkcja zawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji zawodności poszczególnych elementów:
Rezerwa nieobciążona
Oczekiwany czas zdatności takiego układu jest równy sumie oczekiwanych czasów zdatności poszczególnych elementów:
Rezerwa obciążona (zwykłe równoległe połączenie)
Tu oczekiwany czas zdatności urządzenia liczymy wg wzoru całkowego. Pozostałe parametry [fu(t), λu(t)] liczymy z podstawowych wzorów.
Używane w zadaniach całki i pochodne
,
,
,
Zadanie 1
Urządzenia składa się z dwóch elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany, a jego wartość jest równa 66 [h] 40 [min]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.
λu = λ1 + λ2, λ1 = 2λ2 → λu = 3λ2
→
→
→
,
λ1 = 2λ2 →
,
Odp. ET1 = 100 [h], ET2 = 200 [h].
Zadanie 2
Urządzenia składa się z trzech elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu. Intensywność uszkodzeń drugiego elementu jest trzy razy większa od intensywności uszkodzeń elementu pierwszego, a intensywność uszkodzeń elementu trzeciego jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 10 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.
λu = λ1 + λ2 + λ3, λ2 = 3λ1, λ3 = 2λ2 → λ3 = 6λ1 → λu = λ1 + 3λ1 + 6λ1 = 10λ1
→
→
→
,
λ2 = 3λ1 →
,
λ3 = 6λ1 →
,
Odp. ET1 = 100 [h], ET2 = 33 [h] 20 [min.], ET3 = 16 [h] 40 [min.].
Zadanie 3
Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z jednakowych elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu. Z ilu elementów składa się to urządzenie, jeżeli oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 500 [h], a intensywność uszkodzeń urządzenia jest równa 0,02 [1/h].
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λu = 0,02 [1/h], ETe = 500 [h]
Szukane: n = ? (ilość elementów, z których składa się dana struktura niezawodnościowa)
λu = λe + λe + … + λe = n⋅λe
→
→
→ n = λu⋅ETe = 10
Odp. Urządzenie składa się z 10 elementów.
Zadanie 4
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy
120 [h]. Wyznaczyć przedział czasu, w którym gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń urządzenia jest większa od gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.
,
, k = ?, Ru(t) = ?
→
→ k = 240 [h]
,
,
→
,
→
→
→
Odp. t ∈ (120h, 240h>
Zadanie 5
Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Wyznaczyć przedział czasu, w którym gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń urządzenia jest większa od gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.
,
, k = ?, Ru(t) = ?
→
→ k = 240 [h]
,
→
→
fu(t) > fe(t) →
→
→
→
Odp. t ∈ <0, 120h).
Zadanie 6
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 100 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń tego urządzenia.
, Ru(t) = ?
,
,
→
→
→
→
→ k = 200 [h] →
Odp.
Zadanie 7
O ile różnią się oczekiwane czasy zdatności dwóch urządzeń zbudowanych z dwóch jednakowych elementów. Pierwsze ma równoległą, a drugie szeregową strukturę. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h].
Dla struktury równoległej:
, Ru1(t) = ?
,
,
→
→
→
→ ETu1 = 180 [h]
Dla struktury szeregowej:
, λu2 = λ + λ = 2λ →
→ ETu2 = 60 [h], czyli ETu1 = 3ETu2
Odp. Oczekiwany czas zdatności dla struktury równoległej jest 3 razy większy.
Zadanie 8
O ile różnią się oczekiwane czasy zdatności dwóch urządzeń zbudowanych z dwóch jednakowych elementów. Pierwsze ma równoległą, a drugie szeregową strukturę. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h].
Dla struktury równoległej:
, Ru1(t) = ?
,
,
→
→
→
→ k = 240 [h] → ETu1 = 160 [h]
Dla struktury szeregowej:
, Ru2(t) = ?
,
→
k = 240 [h] → ETu2 = 80 [h], czyli ETu1 = 2ETu2
Odp. Oczekiwany czas zdatności dla struktury równoległej jest 2 razy większy.
Zadanie 9
Urządzenie o strukturze równoległej składa się z dwóch jednakowych elementów. Który rozkład czasu zdatności, jednostajny czy wykładniczy, będzie korzystniejszy z punktu widzenia niezawodności rozpatrywanego urządzenia. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 60 [h].
Dla rozkładu jednostajnego:
, Ru(t) = ?
,
,
→
→
, k = ?
→
→ k = 120 [h] → ETu = 80 [h]
Dla rozkładu wykładniczego:
, Ru (t) = ?
,
,
→
,
→
→ ETu = 90 [h]
Jak powyżej wykazano oczekiwany czas zdatności dla rozkładu wykładniczego jest większy, wobec tego ten rozkład czasu zdatności jest korzystniejszy z punktu widzenia niezawodności urządzenia.
Zadanie 10
Urządzenia o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 100 [h]. Obliczyć intensywność uszkodzeń tego urządzenia.
λu(t) = λA(t) + λA(t) = 2λA(t),
, RA(t) = ?
,
,
→
,
,
→
→
→ k = 200 [h] →
Odp.
.
Zadanie 11
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Obliczyć stosunek oczekiwanego czasu zdatności elementu do oczekiwanego czasu zdatności urządzenia.
,
, Ru(t) = ?
,
,
,
,
→
→
Odp.
.
Zadanie 12
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 700 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności elementu.
, k = ?
, Ru(t) = ?
,
,
,
,
,
→
→ k = 1200 [h] → ETe = 600 [h]
Odp. ETe = 600 [h].
Zadanie 13
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z trzech elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 700 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów 1 i 2.
, Ru(t) = ?
,
,
,
→
, λ1 = 2λ2 →
→
,
,
,
Odp. ET1 = 750 [h], ET2 = 1500 [h].
Zadanie 14
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu jest równa 0,001 [1/h]. Wyznaczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.
ETu = ETe + ETe + ETe = 3ETe, ETe = ?
→
, k = ?,
→
→ k = 1000 [h] →
Odp. ETu = 1500 [h].
Zadanie 15
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 1500 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.
, k = ?
ETu = ETe + ETe + ETe = 3ETe,
→
→ k = 1000 [h] →
Odp.
.
Zadanie 16
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy z parametrem λ równym 0,005 [1/h]. Wyznaczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.
ETu = ETe + ETe + ETe = 3ETe, ETe = ?
→
Odp. ETu = 600 [h].
Zadanie 17
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.
ETu = ETA + ETB,
,
, RA(t) = ?
,
,
→
→ k = 240 [h] → ETA = 80 [h] → ETu = 200 [h]
Odp. ETu = 200 [h].
Zadanie 18
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.
ETu = ETA + ETA = 2ETA, ETA = ?
, λA = λ + λ + λ = 3λ →
, λ = ?
→
→ ETA = 40 [h] → ETu = 2ETA = 80 [h]
Odp. ETu = 80 [h].
Zadanie 19
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest równa 1/300 [1/h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.
ETu = ETA + ETA = 2ETA, ETA = ?,
, RA(t) = ?
,
,
→
→
, k = ?,
→
→ k = 300 [h] →
Odp. ETu = 400 [h].
Zadanie 20
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 450 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności elementu, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.
ETu = ETA + ETA + ETA = 3ETA, ETA = ?,
, RA(t) = ?
,
,
→
,
→
→
Odp.
.
Zadanie 21
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1/λ. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia rozpatrywanego urządzenia.
, Ru(t) = ?
,
Skorzystamy w tym momencie z wyniku zadania 37, w którym wyliczono funkcję zawodności [FA(t)] struktury A (rezerwa nieobciążona):
→
→
Odp.
Zadanie 22
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 500 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów wiedząc, że intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego.
, Ru(t) = ?
,
,
,
,
λ1 = 2λ2 →
→
,
→
,
,
,
Odp. ET1 = 500 [h], ET2 = 1000 [h].
Zadanie 23
Czas zdatności pewnego obiektu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0, a kres górny nie jest znany. Wiadomo, że oczekiwany czas zdatności obiektu jest równy 5 lat. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt:
a) uszkodzi się w czwartym roku użytkowania,
b) bezawaryjnie przepracował trzy lata, uszkodzi się w czwartym roku pracy.
→
→ k = 10 lat − kres górny czasu zdatności obiektu
T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
a)
,
,
,
→
b)
,
,
(policzone w punkcie a)
.
Odp.
,
Zadanie 24
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Intensywności uszkodzeń elementów są stałe i równe 0,01 [1/h]. Intensywności odnowy również są stałe i równe 0,1 [1/h]. Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne. Pomijamy tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie oraz zakładamy, że nie ma żadnych ograniczeń, co do liczby elementów, które mogą być odnawiane w tym samym czasie.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 - wszystkie elementy zdatne
1 - jeden element niezdatny
2 - dwa elementy niezdatne
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2, szukamy P2
Z drugiego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)
Z pierwszego równania:
Z trzeciego równania:
, czyli:
i podstawiamy do ostatniego równania
→
→
Podstawiając dane liczbowe:
,
otrzymujemy:
Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest równe
.
Zadanie 25
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego. Element rezerwowy jest rezerwą obciążoną. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa 0,001 [1/h]. Po wystąpieniu uszkodzenia dowolnego elementu urządzenie jest nadal zdatne, ale intensywność uszkodzeń działającego elementu wzrasta o 1,5. Do odnowy uszkodzonych elementów przystępuje się, gdy urządzenie jako całość przechodzi w stan niezdatności. Intensywność odnowy całego urządzenia jest równa 0,1 [1/h]. W trakcie odnowy usuwa się wszystkie uszkodzenia. Uszkodzenia o wspólnej przyczynie pomijamy. Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 - wszystkie elementy zdatne
1 - jeden element niezdatny
2 - dwa elementy niezdatne
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2, szukamy P2.
z jednego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)
z pierwszego równania:
, z trzeciego równania:
i podstawiamy do ostatniego równania otrzymując:
po przekształceniach otrzymujemy:
podstawiając dane liczbowe:
,
otrzymujemy:
.
Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest równe
.
Zadania z ćwiczeń
Zadanie 26
Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny , którego kres dolny jest równy zero, kres górny jest równy 10 lat. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt:
a) uszkodzi się w trzecim lub czwartym roku użytkowania,
b) uszkodzi się w dziesiątym roku użytkowania, jeśli wiadomo, że bezawaryjnie przepracował dziewięć lat.
k = 10 lat − kres górny czasu zdatności obiektu
T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
a)
,
,
,
→
b)
,
,
,
→
.
Zadanie 27
Czas zdatności obiektu ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wiadomo, że obiekt przepracował bezawaryjnie s jednostek czasu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że nie przepracuje następnych x jednostek czasu.
T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
,
,
,
,
,
.Zadanie 28
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkłady wykładnicze o znanym parametrze λ. Obliczyć oczekiwany czas zdatności rozpatrywanego urządzenia.
, Ru(t) = ?
, RA(t) = ?, RB(t) = ?
,
,
→
,
→
Odp.
.
Zadanie 29
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów, których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach wynoszących odpowiednio λ1, λ2, λ3. Obliczyć intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.
,
,
, RA(t) = ?, RC(t) = ?
,
,
→
,
→
Odp.
.
Zadanie 30
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4 jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 800 [h]. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu rozpatrywanego urządzenia.
, k = ?
, Ru(t) = ?
, RA(t) = ?
,
,
→
→
→ k = 1500 [h] →
Odp.
.
Zadanie 31
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów, których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach odpowiednio równych λ1 i λ2. Obliczyć oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.
,
, Ru(t) = ?
,
,
,
,
,
,
Odp.
,
.
Zadanie 32
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4 jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest znany i równy 300 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia dla czasu równego oczekiwanego czasowi zdatności elementu.
, Ru(t) = ?
,
,
,
,
,
,
,
,
→
→
→
,
→
Odp.
,
.
Zadanie 33
Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej ma zostać zbudowane z jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Oczekiwany czas zdatności urządzenia ma być dwa razy większy od oczekiwanego czasu zdatności elementu. Z ilu elementów należy zbudować rozpatrywane urządzenie?
→
,
, Ru(t) = ?,
,
→
→
→
→ 1 ≠ 0
Opisana w zadaniu sytuacja jest w praktyce niemożliwa do zrealizowania. Teoretycznie można ją zrealizować przy użyciu nieskończonej liczby elementów (n → ∞).
Zadanie 34
Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny, którego kres dolny jest równy 0. Obiekt bezawaryjnie przepracował 1200 [h]. Oczekiwany pozostały czas zdatności tego obiektu jest równy 400 [h]. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń rozpatrywanego obiektu.
, k = ?
,
,
→
→ k = 2000 [h] →
Odp.
.Zadanie 35
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym parametrze λ. Wyznaczyć oczekiwany pozostały czas zdatności [ru(t)] tego urządzenia oraz obliczyć granicę, do jakiej dąży jego wartość, gdy czas dąży do nieskończoności.
, Ru(t) = ?
,
,
→
,
Odp.
,
.
Zadanie 36
Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0 i kresie górnym równym k. Obliczyć pozostały oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.
, Ru(t) = ?
,
→
,
Odp.
dla t ∈ (0, k >.
Zadanie 37
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym parametrze λ. Elementy rezerwowe stanowią rezerwę nieobciążoną. Wyznaczyć funkcję niezawodności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.
Funkcja zawodności struktury A (rezerwa nieobciążona) urządzenia może być potraktowana jako dystrybuanta sumy niezależnych zmiennych losowych i wyrażona wzorem (indeks „1” jest przypisany dla elementu podstawowego, zaś „2” dla elementu rezerwowego):
,
→
→
Wzór ten korzystając z oznaczeń na poniższym rysunku można interpretować jak niżej:
Iloczyn f1(τ)dτ przedstawia prawdopodobieństwo tego, że element podstawowy uszkodził się w bezpośrednim sąsiedztwie „chwili” τ (w bardzo małym przedziale czasu, którego środkiem jest τ). F2(t − τ) jest to prawdopodobieństwo tego, że element rezerwowy przepracował mniej niż (t − τ) jednostek czasu. Należy rozpatrzyć wszystkie możliwości tego, że element pierwszy uszkodził się w chwili τ, a element drugi nie przetrwał w stanie zdatności czasu (t − τ), co przedstawia powyższa całka oznaczona obliczana w granicach od 0 do t.
Elementy są jednakowe, zatem funkcja zawodności i gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń każdego z nich są odpowiednio równe:
Funkcja zawodności struktury A urządzenia zatem jest równa:
Funkcja niezawodności struktury A może być obliczona ze wzoru:
→
Intensywność uszkodzeń urządzenia obliczamy ze wzoru:
λu(t) = λA(t) + λA(t) = 2λA(t),
→
→
Odp.
,
.
Zadanie 38
Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z pięciu jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, a intensywność odnowy jest równa μ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, zakładając, że element może ulec zniszczeniu wtedy, gdy urządzenie działa oraz, że nie rozpatrujemy tzw. uszkodzenia o wspólnej przyczynie.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 - urządzenie zdatne,
1 - urządzenie niezdatne
Po, P1 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1
Współczynnik gotowości − kg = Po
,
→
Odp.
.
Zadanie 39
Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z trzech jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, a intensywność odnowy jest równa μ. W przypadku wystąpienia uszkodzenia o wspólnej przyczynie uszkodzenie urządzenia następuje z intensywnością λw. Odnowienie tak uszkodzonego urządzenia następuje z intensywnością odnowy μw. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 - wszystkie elementy zdatne,
1 - jeden element niezdatny,
3 - trzy elementy niezdatne
Po, P1, P3 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 3
Z pierwszego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)
Współczynnik gotowości − kg = Po
Z drugiego równania:
, z trzeciego równania:
→
Odp.
.
Zadanie 40
Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ. Intensywność odnowy elementu może przyjmować jedną z dwóch wartości. Jest ona równa μ1, gdy odnawiany jest jeden element. Jeśli w tym samym czasie „równolegle” są poddawane odnowie obydwa elementy intensywność odnowy elementu spada, przyjmując wartość μ2. W rozpatrywanym przypadku nie ma żadnych ograniczeń, co do liczby elementów, które mogą być odnawiane w tym samym czasie. Wyznaczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, pomijając tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 - wszystkie elementy zdatne,
1 - jeden element niezdatny,
2 - dwa elementy niezdatne
Ponieważ nie uwzględniamy uszkodzeń o wspólnej przyczynie, przejścia oznaczonego linią przerywaną nie bierzemy dalej pod uwagę.
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
Ostatnie równanie tworzymy korzystając z warunku normującego.
Urządzenie ma strukturę równoległą, gdy co najmniej jeden element jest zdatny to urządzenie jest zdatne. Prawdopodobieństwo stacjonarne takiej sytuacji jest tzw. stacjonarnym współczynnikiem gotowości − kg, co można zapisać jak niżej:
, czyli należy wyznaczyć P2.
z równania (1) wyznaczamy Po:
z równania (2) wyznaczamy P1:
, i podstawiając do równania (1):
podstawiamy wyliczone wartości Po i P1 do równania (3):
→
Odp.
.
Zadanie 41
Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego. Element rezerwowy jest rezerwą nieobciążoną. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, zaś intensywność odnowy jest równa μ. Jeżeli przed zakończeniem odnowy uszkodzeniu ulegnie również drugi element, to urządzenie ulegnie zniszczeniu − nie można go odnowić. Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie, obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 - wszystkie elementy zdatne
1 - jeden element niezdatny
2 - dwa elementy niezdatne
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
z równania (2) P1 = 0, czyli z równania (1) Po = 0, stąd P2 = 1 i kg = 0.
Zadanie 42 (zadanie ze skryptu mgra inż. T. Rutkowskiego)
Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ1, w gdy element pracuje i λ2 gdy jest w rezerwie. Uszkodzone elementy są odnawiane kolejno, a intensywność odnowy elementu jest równa μ. Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, gdy element rezerwowy będzie rezerwą:
a) częściowo obciążoną
b) obciążoną
c) nieobciążoną
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 - wszystkie elementy zdatne
1 - jeden element niezdatny
2 - dwa elementy niezdatne
a)
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości Po i P2 otrzymujemy:
→
→
b) w tym przypadku λ2 = λ1
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości Po i P2 otrzymujemy:
→
,
c) w tym przypadku λ2 = 0
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości Po i P2 otrzymujemy:
,
→
.
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy z parametrem λ
Dane: λ = 0,005 [1/h]
Szukane: ETu = ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETu = 1500 [h]
Szukane: fe(t) = ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane:
Szukane: ETu = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ1 = 2λ2, ETu = 700 [h]
Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETe = 100 [h]
Szukane: λu(t) = ?
Rezerwa obciążona
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETe = 100 [h]
Szukane: fu(t) = ?
Rezerwa obciążona
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETe = 120 [h]
Szukane: przedział czasu, dla którego fu(t) > fe(t)
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ1 = 2λ2, ETu = 66 [h] 40 [min.]
Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności − jednostajny
Dane:
Szukane: ETu = ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności − wykładniczy
Dane: ETu = 450 [h]
Szukane: ETe = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ1 = 2λ2, ETu = 500 [h]
Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ
Szukane: ETu = ?
Rozkład czasu zdatności elementu −
wykładniczy
Dane: λ1, λ2, λ3
Szukane: λu(t) = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETu = 800 [h]
Szukane: fe(t) = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ1, λ2
Szukane: ETu = ?, λu(t) = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETe = 300 h
Szukane: ETu = ?, λu(t = ETe) = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ
Szukane:
,
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ
Szukane: Ru(t) = ?, λu(t) = ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETe = 120 [h]
Szukane: ETu = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Szukane:
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETe = 120 [h]
Porównać oczekiwane czasy zdatności obu struktur
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy z parametrem λ
Dane: ETe = 120 [h]
Porównać oczekiwane czasy zdatności obu struktur
Dane: ETe = 60 [h]
Porównać oczekiwane czasy zdatności urządzenia dla rozkładu jednostajnego i wykładniczego
dla rozkładu jednostajnego gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest stała
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Szukane:
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETu = 2ETe
Szukane: n − ilość elementów
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETu = 700 [h]
Szukane: ETe = ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu −
wykładniczy
Dane: ETe = 120 [h]
Szukane: ETu = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Dane: λ2 = 3λ1, λ3 = 2λ2, ETu = 10 [h]
Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?, ET3 = ?
Układ mieszany: rezerwa nieobciążona i obciążona
Rozkład czasu zdatności − wykładniczy
Dane:
Szukane: fu(t) = ?
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Dane: ETe = 120 [h]
Szukane: przedział czasu, dla którego fu(t) > fe(t)