Matematyka w Fizyce, zadania, zestaw 6.
1. Obliczyć całki oznaczone $\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}{x\sin x}\text{dx}$, $\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}\sin^{2}\text{x\ }\cos x\text{dx}$.
2. Obliczyć pole ograniczone odcinkiem osi Ox od x = −1 do x = 1, rzędnymi w tych punktach oraz łukiem
linii $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .
3. Wyznaczyć pole obszaru pomiędzy osią Ox, krzywą $y = \frac{1}{x^{2}}$ i prostymi x = 1i x = 2.
4. Obliczyć pole obszaru zamkniętego krzywymi y = x2 i y = x3.
5. Obliczyć pole koła na podstawie równania x2 + y2 = r2 ( np. poprzez obliczenie całki oznaczonej dla
ćwiartki koła)
6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego linią x = acost, y = bsint, gdzie a > 0,  b > 0,  .
7. Pokazać, że pole ograniczone łukiem cykloidy oraz osią Ox równa się potrojonemu polu toczącego
się koła. Równanie parametryczne cykloidy: x = r(t − sint), y = r(1 − cost) , 0 ≤ t ≤ 2π
8. Korzystając ze wzoru na długość łuku krzywej y = f(x): $L = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + {(f^{'}(x))}^{\ 2}}$ obliczyć długość łuku
paraboli y = x2 w przedziale 0 ≤ x ≤ 2.
9. Jeśli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań: x = g(t),  y = h(t) i funkcje te mają w
przedziale t1 ≤ t ≤ t2 ciągłe pochodne, to długość: $L = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\left( \frac{\text{dx}}{\text{dt}} \right)^{2} + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dt}} \right)^{2}\text{dt}}$. Pokazać, że
długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła w zakresie 0 ≤ t ≤ 2π.
10. Jeśli łuk AB krzywej y = f(x) (A = (a, f(a)) ,  B = (b, f(b))  obraca się wokół osi Ox, to objętość powstałej
bryły obrotowej oraz jej powierzchnia dane są wzorami: V = π∫aby2dx,   $\ \ \ S = 2\pi\int_{a}^{b}{y\sqrt{1 + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dx}} \right)^{2}}\text{dx\ \ }}$.
Obliczyć objętość i pole powierzchni elipsoidy powstałej z obrotu elipsy $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$
11. Obliczyć moment bezwładności prostokąta o gęstości powierzchniowej σ, o bokach a i b, względem boku a.
12. Obliczyć momenty bezwładności względem osi symetrii obrotowej: a) cienkiego pręta, b) cienkiej powłoki
walcowej, c) walca wydrążonego, d) pełnego walca, e) cienkiej powłoki kulistej, f) pełnej kuli, g) stożka
13. Wyznaczyć energię kondensatora o pojemności C poprzez wyliczenie pracy potrzebnej do przeniesienia na
kondensator Å‚adunku Q.
14. Wyznaczyć potencjał pola elektrycznego na osi symetrii prostopadłej do płaskiego pierścienia jednorodnie
naładowanego ładunkiem Q, w odległości d od jego środka.
15. Wyznaczyć zmianę energii układu termodynamicznego przy przejściu od objętości V1 do V2.
16. Długi zbiornik w kształcie prostopadłościanu napełniony jest wodą do wysokości h. Obliczyć moment siły
na ścianę zbiornika względem krawędzi podstawy, wywołany ciśnieniem hydrostatycznym.
17. Wyznaczyć pracę potrzebną na przeniesienie ładunku q z punktu A do punktu B w polu elektrostatycznym
Å‚adunku Q.
18. Pokazać dla układu izolowanego, że podczas wymieszania dwóch jednakowych mas cieczy (gazu) o
dwóch różnych temperaturach T1 i T2 entropia układu wzrasta.