Matematyka w Fizyce, Zadania, Zestaw 2.

1. Wykazać, że kąt przy wierzchołku A w trójkącie o wierzchołkach A(1,0), B(-1,1), C(3, 4) jest prosty i

znaleźć tangensy kątów przy B i C.

2. W wierzchołkach A₁, A₂, A₃ trójkąta znajdują się odpowiednio masy m₁, m₂, m₃ dodatnie, ujemne

lub równe zeru o łącznej sumie m₁+m₂+m₃ =1. Znając współrzędne A_k(x_k, y_k), k=1, 2, 3, znaleźć

współrzędne x, y środka ciężkości danych mas.

3. Znaleźć równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂).

4. Znaleźć sposób wyznaczenia kąta między dwiema prostymi w przestrzeni 2 - wymiarowej.

5. Pokazać, że pole trójkąta ABC o wierzchołkach A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₁, y₁) wyraża się wzorem:

│ABC│= $\frac{1}{2}$ $\left| \begin{matrix} x_{1} - x_{3} & y_{1} - y_{3} \\ x_{2} - x_{3} & y_{2} - y_{3} \\ \end{matrix} \right|$

6. Wykazać, że pole trójkąta A'B'C', którego wierzchołki są środkowymi boków trójkąta ABC o wierz-

chołkach A(4,1), B(2,4), C(-2,2) jest 4 razy mniejsze od pola │ABC│.

7. Zbadać, czy punkty A, B, C leżą na jednej prostej:

a) A(2,-3), B(0,1), C(-1,3)

b) A(2,0), B(1,2), C(-1,3)

8. Obliczyć pole czworokąta o wierzchołkach A(4,0), B(3,3), C(0,2), D(2,-1).

9. Znaleźć iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{\text{AB}}$ i $\overrightarrow{\text{CD}}$ łączących punkty A(2, 1, -3) , B(1, 3, 0) i C(-1, 2, 3),

D(1, 2, 3).

10. Pokazać, że pole T trójkąta o wierzchołkach A_k(x_k, y_k, z_k), k=1, 2, 3, można wyrazić przy pomocy

iloczynu wektorowego następującym wzorem:

T = $\frac{1}{2}$ │$\overset{\overline{}}{A_{1}A_{2}}$×$\overset{\overline{}}{A_{1}A_{3}}$│

11. Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach A = (75, 75), B = (175, 0),

C = (147, -21).

12. Dowieść, że dwusieczne dwóch kątów zewnętrznych trójkąta i dwusieczna trzeciego kąta

wewnętrznego przecinają się w jednym punkcie. (kąt zewnętrzny trójkąta to kąt dopełniający kąt

wewnętrzny do π)

13. Trójkąt ma boki o równaniach: 2x-y+3=0, x-2y+1=0, 2x+3y+1=0. Znaleźć równanie wysokości

prostopadłej do trzeciego boku.

14. Pokazać, że dla płaszczyzny danej równaniem: Ax+By+Cz+D=0 wektor $\overrightarrow{a}$ = [A, B, C] jest

prostopadły do tej płaszczyzny.

15. Znaleźć kąt między prostymi w przestrzeni trójwymiarowej.

16. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂),

C(x₃, y₃ z₃), D(x₄, y₄, z₄).