Dzia lania na wektorach.
Przygotowa/la Izabela Wardach Zadania do samodzielnego rozwi¸
azania:
1) Dane s¸
a punkty A(3, −2), B(1, 4), C(2, −5), D(6, 2). Znajdź punkt E(ex, ey), taki aby by lo spe lnione :
~
EA + ~
EB + ~
EC + ~
ED = ~0
odp.: S(3, −1/4)
√
2) Znajdź pole oraz k¸
aty trójk¸
ata o wierzcho lkach A(0, 1), B(2 3, 1), C(0, 3) odp: P =
√
2 3, k¸
aty: 30o, 60o, 90o
3) Dane s¸
a ~
u = [1, −2], ~
w = [−1, 5]. Oblicz: a)
~
u · ~
w
odp.: −11
b)
~
u2
odp: 5
c)
~
w2
odp: 26
d)
(~
u + ~
w)2
odp: 9
e)
(~
u + 2 ~
w) ◦ (3~
u − ~
w)
odp: −92
4) Dla jakiej wartości k punkty A(1, 4), B(3, 1), C(0, k) s¸
a wierzcholkami trójk¸
ata pros-
tok¸
atnego?
odp.: k = −1 lub k = 10/3
5) Oblicz iloczyn skalarny wektorów ~
u i ~
w, jeżeli:
a) |~
u| = 3, | ~
w| = 5, 6 (~
u, ~
w) = π/3
odp.: 15/2
b) |~
u| = 3, | ~
w| = 1, 6 (~
u, ~
w) = 2π/3
odp.: −3/2
6) Oblicz iloczyn skalarny wektorów ~
u i ~
w, jeżeli ~
u = 3~a + ~b, ~
w = ~a − ~b, |~a| = |~b| = 1
oraz ~a · ~b = 0.
odp.: 2.
√
7) Oblicz |~
q|, jeżeli ~
q = 3~
u − 2~
v oraz |~
u| = 2, |~
v| = 3 oraz ~
u⊥~
v
odp. 6 2
8) Dane s¸
a dwa wektory ~
u = [1, 2, −2] i ~
w = [2, 3, 6]. Znajdź wektor ~
p, którego d lugość
wynosi 21/5, i który dzieli k¸
at mi¸
edzy wektorami ~
u i ~
w na po lowy.
odp.[4, 4/5, 1]
9) Dane s¸
a dwa przeciwleg le wierzcho lki kwadratu A(0, −1), C(3, 0). Wyznacz pozosta le wspó lrz¸
edne i pole tego kwadratu.
odp.: B(−2, −2), D(1, 1), S = 5.
10) Dane s¸
a środki boków trójk¸
ata D(2, 3, 1), E(3, 3, 2), E(4, 2, 0).
Znajdź jego wierz-
cho lki.Wyznacz pozosta le wspó lrz¸edne i pole tego trójk¸
ata.
odp.: A(3, 2, −1), B(1, 4, 3), C(5, 2, 1).
11) Dany jest punkt A(1, −2)w uk ladzie OXY. Znaj´
dz wspó lrz¸
edne tego punktu w uk ladzie
√
√
OX’Y’obróconym o k¸
at 45o.
odp.: A(3 2/2, − 2/2).
12) Sprawdź czy punkty A(3, −1, 2), B(1, 2, −1), C(−2, 0, 5), D(−4, 3, 3) s¸
a wierzcho lkami
trapezu.
odp.: tak.
1