20081217130607, Miary zmienności


Miary zmienności

Wartości średnie nie dają wyczerpującej charakterystyki struktury zbiorowości. Przede wszystkim nie informują o stopniu zmienności (dyspersji) badanej cechy. Dyspersją nazywamy zróżnicowanie jednostek zbiorowości ze względu na wartość badanej cechy. Siłę dyspersji oceniamy za pomocą pozycyjnych i klasycznych miar zmienności. Do miar klasycznych zaliczamy: odchylenie przeciętne, wariancję, odchylenie standardowe oraz współczynnik zmienności (w zależności od techniki obliczania może być również pozycyjną miarą dyspersji)

Odchylenie przeciętne określa, o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio ze względu na wartość zmiennej od średniej arytmetycznej tej zmiennej. Odchylenie przeciętne jest średnią arytmetyczną bezwzględnych wartość (modułów) odchyleń wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Oblicza się je wg wzoru:

dla szeregu wyliczającego:

0x01 graphic

dla szeregu rozdzielczego punktowego:

0x01 graphic

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

0x01 graphic

Ćwiczenie 5

Oblicz odchylenie przeciętne dla podanego szeregu

Tab. Nauczyciele szkół średnich w miejscowości Z wg stażu pracy

Staż pracy

(w latach)

Liczba
nauczycieli

0x01 graphic

Obliczenie pomocnicze

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0-5

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

4

7

10

15

8

4

2

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

10,0

52,5

125,0

262,5

180,0

110,0

65,0

13,6

8,6

3,6

1,4

6,4

11,4

16,4

54,4

60,2

36,0

21,0

51,2

45,6

32,8

Ogółem

50

x

805,0

x

301,2

Źródło: M. Sobczyk, Statystyka, PWN, W-wa 1991, s.45.

Najpierw należy obliczyć średni staż pracy:

0x01 graphic

Wynik podstawiamy do wzoru:

0x01 graphic

Otrzymany wynik oznacza, że przeciętne zróżnicowanie badanej zbiorowości nauczycieli ze względu na staż pracy wynosi 0x01 graphic
6 lat.

Wariancja jest to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej całej zbiorowości.

Dla szeregu wyliczającego oblicza się ją wg wzoru:

0x01 graphic

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:

0x01 graphic

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

0x01 graphic

Ćwiczenie 6

Oblicz wariancję z podanego szeregu.

Tab. Zgony niemowląt na wsi wg wieku w Polsce w 1977 r.

Wiek zmarłych
(dni)

0x01 graphic

Liczba
zmarłych

0x01 graphic

Obliczenie pomocnicze

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0-6

7-13

14-20

21-27

28-29

3 186

623

336

243

74

3,0

10,0

17,0

24,0

28,5

9 558

6 230

5 712

5 832

2 109

-3,6

3,4

10,4

17,4

21,9

12,96

11,56

108,16

302,76

479,61

41 290,56

7 201,88

36 341,76

73 570,68

35 491,14

Ogółem

4 462

x

29 441

x

x

193 896,02

Źródło: M. Sobczyk, Statystyka, PWN, W-wa 1991, s.47.

Najpierw należy obliczyć średnią arytmetyczną:

0x01 graphic

Następnie podstawiamy do wzoru:

0x01 graphic

Wariancja, jako suma kwadratów dzielona przez liczbę dodatnią jest zawsze wielkością dodatnią i mianowaną. Mianem wariancji jest kwadrat jednostki fizycznej, w jakiej mierzona jest badana cecha.

Im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana tym wyższa jest wartość wariancji

Wariancja obliczona na podstawie szeregów rozdzielczych przedziałowych jest wielkością zawyżoną. Powoduje to fakt, że do obliczeń wykorzystuje się środki przedziałów klasowych, a nie średnie arytmetyczne z poszczególnych klas.

Wariancja jest wielkością kwadratową. Aby uzyskać miarę zróżnicowania o postaci liniowej (o mianie zgodnym z mianem badanej cechy), wyciągamy pierwiastek kwadratowy. W wyniku pierwiastkowania otrzymujemy tzw. odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

0x01 graphic

Odchylenie standardowe określa o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio od średniej arytmetycznej badanej zmiennej. Dla poszczególnych rodzajów szeregów korzystamy z odpowiednich wzorów na wariancję, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Możemy je wykorzystać do konstrukcji typowego obszaru zmienności badanej cechy. W obszarze tym mieści się około 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości statystycznej. Typowy obszar zmienności określa wzór:

0x01 graphic

Pomiędzy odchyleniami: przeciętnym a standardowym obliczonym z tego samego szeregu zachodzi relacja:

0x01 graphic

Omówione powyżej miary dyspersji są miarami bezwzględnymi, gdyż wyrażamy je w takich samych jednostkach jak wartości badanej zmiennej. Nie pozwala to na porównywanie zmienności cech o różnych mianach. Ponadto nie można porównywać pod względem tej samej cechy dwóch (lub kilku) zbiorowości będących na różnym poziomie, określonym np. średnią arytmetyczną czy medianą. Z tego powodu w analizie dyspersji stosuje się względną miarę zróżnicowania - współczynnik zmienności.

Współczynnik zmienności jest ilorazem bezwzględnej miary dyspersji i odpowiednich wartości średnich. Jest on wyrażany w procentach. Ponieważ w analizie rozkładu zmienności cech korzystamy z różnych miar zróżnicowania i różnych przeciętnych, współczynnik zmienności można obliczyć kilkoma metodami:

1)

0x01 graphic
;

2)

0x01 graphic

Są to tzw. klasyczne współczynniki zmienności.

3)

0x01 graphic
;

4)

0x01 graphic

Są to tzw. pozycyjne współczynniki zmienności.

Współczynniki zmienności informują o sile dyspersji.

Ich duże wartości liczbowe świadczą o niejednorodności zbiorowości.

Ćwiczenie 9

Zastosuj współczynnik zmienności dla analizy dyspersji dochodów w podanych niżej hotelach A, B i C:

Średnie miesięczny wpływy:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Odchylenia standardowe wartości sprzedanych usług wynosiły:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Z uwagi na duże różnice w średnim poziomie wpływów w poszczególnych hotelach należy zastosować wzór 1.

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

Dla hotelu A: 0x01 graphic
;

Dla hotelu B: 0x01 graphic
;

Dla hotelu C: 0x01 graphic
.

Z powyższego wynika, że największe względne zróżnicowanie miesięcznych wpływów miało miejsce w hotelu B, a najmniejsze w hotelu A.

SŁOWNICZEK:

0x01 graphic
- symbol średniej arytmetycznej;

xi - warianty cechy mierzalnej;

N - liczebność badanej zbiorowości;

N - suma liczebności (szeregi przedziałowe);

0x01 graphic
- środek przedziału;

0x01 graphic
- procentowy wskaźnik udziału (odsetki);

H - symbol średniej harmonicznej;

0x01 graphic
- symbol dominanty;

0x01 graphic
- dolna granica klasy, w której znajduje się dominanta;

0x01 graphic
- liczebność przedziału dominanty;

0x01 graphic
- liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty;

0x01 graphic
- liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty;

0x01 graphic
- interwał, czyli rozpiętość przedziału dominanty;

0x01 graphic
- symbol mediany;

0x01 graphic
- symbole kwartyli;

0x01 graphic
- granice przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

N - ogólna liczebność danej zbiorowości;

0x01 graphic
- suma liczebności od klasy pierwszej do tej, w której znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

0x01 graphic
- liczebności przedziałów, w których, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

0x01 graphic
- interwały (rozpiętość) przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

d - symbol odchylenia przeciętnego;

0x01 graphic
- symbol wariancji;

s - symbol odchylenia standardowego;

V - symbol współczynnika zmienności.

Miary zmienności

3

www.wkuwanko.pl



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza wstepna branz, wybor spolek i miary zmiennosci
miary zmiennosci
Miary zmienności , Miary zmienności
LISTA 3 miary zmiennosci[1]
miary zmiennosci
miary zmiennosci id 298408 Nieznany
Miary zmienności (wzory i opis), Statystyka
Miary zmienności (3)
Miary zmienności
ćw 3 miary zmienności
MIARY ZMIENNO CI 5 STR , Inne
5 miary zmiennosci wzory
Analiza wstepna branz, wybor spolek i miary zmiennosci
Analiza wstepna branz, wybor spolek i miary zmiennosci
MIARY ZMIENNOŚCI
MIARY ZMIENNOŚCI MIARY ASYMETRII (szczeg, punkt, przedz)

więcej podobnych podstron