ÿþA k a d e m i a G ó r n i c z o - H u t n i c z a
K a t e d r a R o b o t y k i i M e c h a t r o n i k i
I d e n t y f i k a c j a i a n a l i z a s y g n a Bó w
L a b o r a t o r i u m 1 0
M e t o d y n i e p a r a m e t r y c z n e w i d e n t y f i k a c j i i a n a l i z i e
s y g n a Bó w
P r z e t w a r z a n i e s y g n a Bó w z z a s t o s o w a n i e m p r o c e d u r s t a t y s t y c z n y c h
S i g n a l P r o c e s s i n g T o o l b o x z a w i e r a z e s t a w w a |n i e j s z y c h f u n k c j i d o e s t y m a c j i p e w n y c h
c h a r a k t e r y s t y k s y g n a Bó w l o s o w y c h . W s z c z e g ó l n o [c i s t o n a r z d z i a d o e s t y m a c j i f u n k c j i
k o r e l a c j i i k o w a r i a n c j i c i g u d a n y c h o r a z f u n k c j e g s t o [c i w i d m o w e j m o c y s y g n a Bó w
d y s k r e t n y c h .
K o r e l a c j a i k o w a r i a n c j a
F u n k c j e x c o r r i x c o v e s t y m u j w z a j e m n k o r e l a c j i k o w a r i a n c j c i g ó w p r o c e s ó w
l o s o w y c h . A u t o k o r e l a c j a i a u t o k o w a r i a n c j a s t r a k t o w a n e j a k o s p e c j a l n e p r z y p a d k i k o r e l a c j i i
k o w a r i a n c j i w z a j e m n e j .
K o r e l a c j a w z a j e m n a c i g ó w j e s t w i e l k o [c i d e f i n i o w a n j a k o :
R x y ( m ) = E { x ( n ) Å" y ( n + m ) }
( 0 )
g d z i e x ( n ) i y ( n ) s s t a c j o n a r n y m i p r o c e s a m i l o s o w y m i , - " < n < " o r a z E j e s t o p e r a t o r e m
w a r t o [c i o c z e k i w a n e j . K o w a r i a n c j a w z a j e m n a j e s t r ó w n a k o r e l a c j i z u s u n i t [r e d n i .
C x y ( m ) = E ñø ( x ( n ) - m x ) ( y ( n + m ) - m ) üø
òø ýø ( 1 )
y
óø þø
g d z i e m i m s w a r t o [c i a m i [r e d n i m i k o r e l o w a n y c h c i g ó w .
x y
Z w y k Ba e s t y m a t a b a z u j c a n a M p r ó b k a c h x ( n ) i y ( n ) j e s t d e t e r m i n i s t y c z n k o r e l a c j
w z a j e m n c i g ó w :
M - m - 1
ñø
x ( n ) y ( n + m ) d l a m e" 0
ôø
"
Æ
R x y ( m ) =
òø
n = 0
( 2 )
ôø Æ
R x y ( - m ) d l a m < 0
óø
Z a k Ba d a s i , |e x ( n ) i y ( n ) s i n d e k s o w a n e o d 0 d o M - 1 , a R ( m ) , o d - ( M - 1 ) d o M - 1 .
x y
F u n k c j a x c o r r r e a l i z u j e p o w y |s z y w z ó r , w y k o r z y s t u j c a l g o r y t m y b a z u j c e n a F F T d l a
d a n y c h c i g ó w w e j [c i o w y c h x ( n ) i y ( n ) , z a w a r t y c h w w e k t o r a c h x i y o d Bu g o [c i a c h M .
P r z y k Ba d o w o :
x = [ 1 1 1 1 1 ] ' ;
y = x ;
x y c = x c o r r ( x , y )
" x y c =
" 1 . 0 0 0 0
" 2 . 0 0 0 0
" 3 . 0 0 0 0
" 4 . 0 0 0 0
" 5 . 0 0 0 0
" 4 . 0 0 0 0
" 3 . 0 0 0 0
" 2 . 0 0 0 0
" 1 . 0 0 0 0
S e k w e n c j a w y n i k o w a m a d Bu g o [ d w a r a z y w i k s z o d d Bu g o [c i c i g u w e j [c i o w e g o m i n u s
j e d e n . T a k w i c M - t y e l e m e n t j e s t k o r e l o w a n y p r z y z e r o w e j z w Bo c e . R ó w n i e | z a u w a |a m y
z n a n e i m p u l s y t r ó j k t n e n a w y j [c i u , b d c e w y n i k i e m s p l o t u d w ó c h p r z e b i e g ó w
k w a d r a t o w y c h .
F u n k c j a x c o v e s t y m u j e k o w a r i a n c j w Ba s n i w z a j e m n d a n y c h w e j [c i o w y c h . P o s i a d a o n a t e
s a m e o p c j e i p r z e l i c z a t e s a m e r ó w n a n i a , c o f u n k c j a k o r e l a c j i , a l e n a j p i e r w u s u w a w a r t o [c i
[r e d n i e z p r z e b i e g ó w x i y .
O b c i |e n i e i n o r m a l i z a c j a
E s t y m a t o r j e s t o b c i |o n y , j e [l i j e g o w a r t o [ o c z e k i w a n a n i e j e s t r ó w n a w a r t o [c i w i e l k o [c i ,
k t ó r e s t y m u j e . W a r t o [ o c z e k i w a n a d l a p r z e b i e g u f u n k c j i x c o r r w y n o s i :
M - m - 1
)ð
E ( R ( m ) ) = E { x ( n ) y ( n + m ) } = ( M - m ) R ( m )
( 3 )
x y " x y
n = 0
F u n k c j a x c o r r w y z n a c z a e s t y m a t o r n i e o b c i |o n y , d z i e l c s u m ( 3 ) p r z e z M - æøm æø, j e [l i
z a d a m y p a r a m e t r u n b i a s e d p o s e k w e n c j i e l e m e n t ó w w e j [c i o w y c h :
x c o r r ( x , y , u n b i a s e d ) ;
M i m o |e e s t y m a t o r j e s t n i e o b c i |o n y , p u n k t y k o Dc o w e ( b l i s k i e - ( M - 1 ) i M - 1 m a j
s t o s u n k o w o d u | w a r i a n c j , p o n i e w a | f u n k c j a x c o r r w y l i c z a j e n a p o d s t a w i e n i e w i e l u
p u n k t ó w d a n y c h . M o |l i w y m r o z w i z a n i e m j e s t d z i e l e n i e e s t y m a t y p r z e z M , u |y w a j c w t y m
c e l u p a r a m e t r u b i a s e d :
x c o r r ( x , y , b i a s e d ) ;
W t y m s c h e m a c i e j e d y n i e p r ó b k a k o r e l a c j i p r z y z e r o w y m o p ó zn i e n i u ( M - t y e l e m e n t w y j [c i a )
j e s t n i e o b c i |o n a . T a e s t y m a t a j e s t c z s t o b a r d z i e j p o |d a n a n i | n i e o b c i |o n a , p o n i e w a |
u n i k a o n a l o s o w e j , d u |e j w a r i a n c j i w k o Dc o w y c h p u n k t a c h k o r e l o w a n e j s e k w e n c j i .
F u n k c j a x c o r r u m o |l i w i a t a k |e z a s t o s o w a n i e i n n e g o s c h e m a t u n o r m a l i z a c j i :
x c o r r ( x , y , ' c o e f f ' ) ;
P o l e g a o n n a p o d z i e l e n i u e s t y m a t y w y j [c i o w e j p r z e z n o r m ( x ) n o r m ( y ) w t a k i s p o s ó b , |e
w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i p r z y z e r o w y m o p ó zn i e n i u m a w a r t o [ j e d e n .
S y g n a By w i e l o k a n a Bo w e
D l a s y g n a Bu w i e l o k a n a Bo w e g o f u n k c j e x c o r r i x c o v e s t y m u j w Ba s n i w z a j e m n k o r e l a c j i
k o w a r i a n c j c i g u d a n y c h d l a w s z y s t k i c h k a n a Bó w j e d n o c z e [n i e . M a j c d a n m a c i e r z S o
w y m i a r a c h M n a N , r e p r e z e n t u j c s y g n a B N k a n a Bo w y ( j e d n a k o l u m n a d l a p o j e d y n c z e g o
k a n a Bu ) , f u n k c j a x c o r r ( S ) o b l i c z a m a c i e r z k o r e l a c j i w Ba s n e j i w z a j e m n e j d l a s y g n a Bó w
z a w a r t y c h w S . O t r z y m a n a m a c i e r z w y n i k o w a p o s i a d a w y m i a r y ( 2 M - 1 ) n a N 2 . P r z y k Ba d o w o ,
j e [l i S j e s t s y g n a Be m t r z y k a n a Bo w y m
S = [ s 1 s 2 s 3 ] ;
t o r e z u l t a t y d z i a Ba n i a f u n k c j i R = x c o r r ( S ) s p o d a w a n e n a s t p u j c o :
R = [ R s 1 s 1 R s 1 s 2 R s 1 s 3 R s 2 s 1 R s 2 s 2 R s 2 s 3 R s 3 s 1 R s 3 s 2 R s 3 s 3 ] .
W M a t l a b i e d o s t p n e s p o n a d t o d w i e f u n k c j e c o v i c o r r c o e f . S t o s u j c t e f u n k c j e , m o |n a
w y z n a c z y e s t y m a t y k o w a r i a n c j i o r a z z n o r m a l i z o w a n e j k o w a r i a n c j i p o m i d z y r ó |n y m i
k a n a Ba m i p r z y z e r o w y m p r z e s u n i c i u . W y |e j w y m i e n i o n e f u n k c j e z e s t a w i a j w y n i k i s w e g o
d z i a Ba n i a w m a c i e r z y k w a d r a t o w e j .
G s t o [ w i d m o w a m o c y
C e l e m a n a l i z y w i d m o w e j j e s t w y z n a c z e n i e c z s t o t l i w o [c i o w e j z a w a r t o [c i s y g n a Bu , p r o c e s u
l o s o w e g o l u b u k Ba d u , b a z u j c n a s k o Dc z o n y c h z b i o r a c h d a n y c h . E s t y m a c j a w i d m o w e j
g s t o [c i m o c y j e s t u |y t e c z n a w r ó |n y c h z a s t o s o w a n i a c h , w Bc z a j c d e t e k c j s y g n a Bó w
z a k Bó c o n y c h s z u m e m o s z e r o k i m p a [m i e .
W i d m o w a g s t o [ m o c y ( P S D ) s t a c j o n a r n e g o p r o c e s u l o s o w e g o x ( n ) j e s t z w i z a n a z f u n k c j
k o r e l a c j i s y g n a Bu d y s k r e t n e g o p o p r z e z d y s k r e t n t r a n s f o r m a c j F o u r i e r a .
"
P x x ( É ) = R ( m ) e - j É m
( 4 )
" x x
m = - "
F u n k c j a g s t o [c i w i d m o w e j m o c y p o s i a d a t a k w Ba s n o [, |e j e j c a Bk a w d a n y m p a [m i e
c z s t o t l i w o [c i j e s t r ó w n a m o c y s y g n a Bu x ( n ) w t y m p a [m i e . P S D j e s t s p e c j a l n y m
p r z y p a d k i e m f u n k c j i w z a j e m n e j g s t o [c i w i d m o w e j ( C S D ) , z d e f i n i o w a n e j p o m i d z y d w o m a
s y g n a Ba m i x ( n ) i y ( n ) w p o s t a c i w z o r u :
"
P x y ( É ) = R ( m ) e - j É m
( 5 )
" x y
m = - "
T a k j a k w w y p a d k u f u n k c j i k o r e l a c j i i k o w a r i a n c j i , p o l e c e n i a M a t l a b a e s t y m u j P S D i C S D
d l a s y g n a Bó w o s k o Dc z o n e j d Bu g o [c i .
I s t n i e j e w i e l e r ó |n y c h m e t o d e s t y m a c j i P S D . M o |n a j e d n a k z g r u p o w a j e w d w ó c h
k a t e g o r i a c h : e s t y m a c j i p a r a m e t r y c z n e j i n i e p a r a m e t r y c z n e j . G Bó w n t e c h n i k s t o s o w a n w
S P T j e s t n i e p a r a m e t r y c z n y a l g o r y t m , o p r a c o w a n y p r z e z W e l c h a . W p r z y b o r n i k u
w y k o r z y s t a n o t m e t o d w f u n k c j a c h p s d , c s d , t f e , o r a z c o h e r e . W [r ó d m e t o d
p a r a m e t r y c z n y c h s t o s o w a n a j e s t f u n k c j a p m e m , d o k o n u j c a e s t y m a c j i w i d m a m e t o d
m a k s y m a l n e j e n t r o p i i . B a r d z i e j s z c z e g ó Bo w e o m ó w i e n i e f u n k c j i d o e s t y m a c j i P S D ,
w y k o r z y s t u j c y c h a l g o r y t m y p a r a m e t r y c z n e , z n a j d u j e s i p l i k a c h p o m o c y M a t l a b a .
M e t o d a W e l c h a
J e d n z m e t o d e s t y m a c j i g s t o [c i w i d m o w e j m o c y j e s t w y z n a c z e n i e d y s k r e t n e j t r a n s f o r m a t y
F o u r i e r a p r ó b e k k o n k r e t n e j r e a l i z a c j i d a n e g o p r o c e s u , a n a s t p n i e o b l i c z e n i e k w a d r a t u z
w a r t o [c i b e z w z g l d n e j w y n i k u . P r z y k Ba d o w o , w y z n a c z o n o P S D d l a 1 0 0 1 - e l e m e n t o w e g o
s y g n a Bu x n , s k Ba d a j c e g o s i z d w ó c h s i n u s o i d i s z u m u .
F s = 1 0 0 0 ;
t = 0 : 1 / F s : 1 ;
x n = s i n ( 2 * p i * 5 0 * t ) + 2 * s i n ( 2 * p i * 1 2 0 * t ) + . . .
r a n d n ( s i z e ( t ) ) ;
Z g r u b n y e s t y m a t o r P S D w y z n a c z a s i z x n s t o s u j c i n s t r u k c j e :
P x x = a b s ( f f t ( x n , 1 0 2 4 ) ) . ^ 2 / 1 0 0 1 ;
P o w y |s z y e s t y m a t o r j e s t n a z y w a n y p e r i o d o g r a m e m . S k a l o w a n i e k w a d r a t u w a r t o [c i
b e z w z g l d n e j z F F T p r z e z k w a d r a t n o r m y o k n a d a n y c h z a s t o s o w a n e g o d o s y g n a Bu ( w t y m
w y p a d k u o k n a p r o s t o k t n e g o o d Bu g o [c i 1 0 0 1 ) , g w a r a n t u j e t o , |e e s t y m a t o r t e n j e s t
a s y m p t o t y c z n i e n i e o b c i |o n y . T o z n a c z y , |e j e [l i l i c z b a p r ó b e k w z r a s t a , w a r t o [ o c z e k i w a n a
p e r i o d o g r a m u p r z y b l i |a s i d o p r a w d z i w e j w a r t o [c i P S D . P r o b l e m e m p r z y e s t y m a c j i P S D
m e t o d p e r i o d o g r a m u j e s t f a k t , |e j e g o w a r i a n c j a j e s t d u |a i n i e m a l e j e p r z y w z r a s t a j c e j
l i c z b i e p r ó b e k . N a s t p n e d w a p r z y k Ba d y p o k a z u j , |e p o m i m o w z r o s t u d Bu g o [c i
a n a l i z o w a n e g o w e k t o r a , p e r i o d o g r a m n i e w y g Ba d z a s i .
P x x _ s h o r t = a b s ( f f t ( x n , 2 5 6 ) ) . ^ 2 / 2 5 6 ;
s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )
p l o t ( ( 0 : 2 5 5 ) / 2 5 6 * F s , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x _ s h o r t ) , ' b l a c k ' )
g r i d ,
t i t l e ( ' P e r i o d o g r a m k r ó t k i e g o s y g n a Bu ' )
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ w H z ' ) , y l a b e l ( ' W i d m o m o c y ( d B ) ' ) ;
s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 ) ,
p l o t ( ( 0 : 1 0 2 3 ) / 1 0 2 4 * F s , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x ) , ' b l a c k ' )
g r i d ,
t e x t ( 2 5 0 , 4 5 , ' P e r i o d o g r a m d Bu |s z e g o s y g n a Bu ' )
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ w H z ' ) , y l a b e l ( ' W i d m o m o c y ( d B ) ' ) ;
P e r i o d o g r a m k r ó t k i e g o s y g n a Bu
4 0
2 0
0
- 2 0
- 4 0
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
C z s t o t l i w o [ w H z
P e r i o d o g r a m d Bu |s z e g o s y g n a Bu
4 0
2 0
0
- 2 0
- 4 0
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
C z s t o t l i w o [ w H z
R y s . 1 P e r i o d o g r a m y d l a s e k w e n c j i o r ó |n y c h d Bu g o [c i a c h
R e d u k c j a w a r i a n c j i e s t y m a t o r a P S D n a s t p u j e p r z e z p o d z i e l e n i e s y g n a Bu n a n i e n a k Ba d a j c e
s i f r a g m e n t y o r a z u [r e d n i a n i e i c h w i d m w d z i e d z i n i e c z s t o t l i w o [c i .
s u b p l o t ( 1 , 1 , 1 ) ,
P x x = ( a b s ( f f t ( x n ( 1 : 2 5 6 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( x n ( 2 5 7 : 5 1 2 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( x n ( 5 1 3 : 7 6 8 ) ) ) . ^ 2 ) / ( 2 5 6 * 3 ) ;
p l o t ( ( 0 : 2 5 5 ) / 2 5 6 * F s , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x ) , ' b l a c k ' )
g r i d ,
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ w H z ' ) , y l a b e l ( ' W i d m o m o c y ( d B ) ' )
t i t l e ( ' U [r e d n i o n y p e r i o d o g r a m ( f r a g m e n t y s y g n a Bu n i e n a k Ba d a j
s i ) ' )
U [r e d n i o n y p e r i o d o g r a m ( f r a g m e n t y s y g n a Bu n i e n a k Ba d a j s i )
2 5
2 0
1 5
1 0
5
0
- 5
- 1 0
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
C z s t o t l i w o [ w H z
R y s . 2 P e r i o d o g r a m u [r e d n i o n y w n i e n a k Ba d a j c y c h s i p r z e d z i a Ba c h
T a k i u [r e d n i o n y e s t y m a t o r p o s i a d a j e d n t r z e c i w a r i a n c j i p e r i o d o g r a m u o d Bu g o [c i 2 5 6 ,
o t r z y m a n e g o w c z e [n i e j . U [r e d n i a j c w i c e j p r ó b e k , m o |n a o t r z y m a w r e z u l t a c i e n i |s z
w a r i a n c j . D Bu g o [ s y g n a Bu o g r a n i c z a j e d n a k |e l i c z b m o |l i w y c h d o u t w o r z e n i a o d c i n k ó w
W i d m o m o c y ( d B )
W i d m o m o c y ( d B )
W i d m o m o c y ( d B )
( d o 3 s e k c j i o d Bu g o [c i 2 5 6 w p o p r z e d n i m p r z y k Ba d z i e ) . B y u z y s k a w i k s z i l o [ s e k c j i ,
d z i e l i m y s y g n a B n a f r a g m e n t y n a k Ba d a j c e s i .
P x x = ( a b s ( f f t ( x n ( 1 : 2 5 6 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( x n ( 1 2 9 : 3 8 4 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( x n ( 2 5 7 : 5 1 2 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( x n ( 3 8 5 : 6 4 0 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( x n ( 5 1 3 : 7 6 8 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( x n ( 6 4 1 : 8 9 6 ) ) ) . ^ 2 ) / ( 2 5 6 * 6 ) ;
p l o t ( ( 0 : 2 5 5 ) / 2 5 6 * F s , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x ) , ' b l a c k ' ) , g r i d ,
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ w H z ' ) , y l a b e l ( ' W i d m o m o c y ( d B ) ' )
t i t l e ( ' U [r e d n i o n y p e r i o d o g r a m ( p r ó b k i n a k Ba d a j s i ) ' )
W t y m w y p a d k u o d c i n k i s s t a t y s t y c z n i e z a l e |n e , c o z k o l e i p o w o d u j e w z r o s t w a r i a n c j i .
N a l e |y w i c z n a l e z k o m p r o m i s p o m i d z y l i c z b f r a g m e n t ó w s y g n a Bu i s t o p n i e m i c h
n a k Ba d a n i a .
U [r e d n i o n y p e r i o d o g r a m ( p r ó b k i n a k Ba d a j
2 5 s i )
2 0
1 5
1 0
5
0
- 5
- 1 0
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
C z s t o t l i w o [ w H z
R y s . 3 P e r i o d o g r a m u [r e d n i o n y w n a k Ba d a j c y c h s i p r z e d z i a Ba c h
I n n d r o g d o p o p r a w i e n i a w Ba s n o [c i s t a t y s t y c z n y c h e s t y m a t o r a p e r i o d o g r a m u j e s t
z a s t o s o w a n i e n i e p r o s t o k t n e g o o k n a c z a s o w e g o d o w y g Ba d z e n i a k o Dc ó w a n a l i z o w a n y c h
d a n y c h . W r e z u l t a c i e o t r z y m u j e m y z m o d y f i k o w a n y p e r i o d o g r a m . O p e r a c j a t a r e d u k u j e e f e k t
z a l e |n o [c i n a k Ba d a j c y c h s i s e k c j i , p o n i e w a | o k n o z m n i e j s z a a m p l i t u d d o z e r a p r z y i c h
b r z e g a c h . N i e p r o s t o k t n e o k n o c z a s o w e z m n i e j s z a p o z i o m b o c z n y c h i n t e r f e r e n c j i ( l u b
p r z e c i e k u w i d m a ) , r ó w n o c z e [n i e j e d n a k p o w o d u j c w z r o s t s z e r o k o [c i p r |k ó w
w i d m o w y c h . Z o d p o w i e d n i m o k n e m c z a s o w y m ( H a m m i n g a , H a n n i n g a l u b K a i s e r a ) o r a z 5 0
p r o c e n t o w y m n a k Ba d a n i e m s i a n a l i z o w a n y c h o d c i n k ó w s y g n a Bu u z y s k u j e s i e s t y m a t o r o
z n a c z n i e z m n i e j s z o n e j w a r i a n c j i .
R e z u l t a t z a s t o s o w a n i a o k n a H a n n i n g a d o a n a l i z o w a n e g o s y g n a Bu p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 4 . W
t y m c e l u z r e a l i z o w a n o n a s t p u j c e f u n k c j e :
w = h a n n i n g ( 2 5 6 ) ' ;
P x x = ( a b s ( f f t ( w . * x n ( 1 : 2 5 6 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( w . * x n ( 1 2 9 : 3 8 4 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( w . * x n ( 2 5 7 : 5 1 2 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( w . * x n ( 3 8 5 : 6 4 0 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( w . * x n ( 5 1 3 : 7 6 8 ) ) ) . ^ 2 + . . .
a b s ( f f t ( w . * x n ( 6 4 1 : 8 9 6 ) ) ) . ^ 2 ) / ( n o r m ( w ) ^ 2 * 6 ) ;
p l o t ( ( 0 : 2 5 5 ) / 2 5 6 * F s , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x ) , ' b l a c k ' )
W i d m o m o c y ( d B )
g r i d ,
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ w H z ' ) , y l a b e l ( ' W i d m o m o c y ( d B ) ' )
t i t l e ( P e r i o d o g r a m z m o d y f i k o w a n y o k n e m H a n n i n g a ' )
P e r i o d o g r a m z m o d y f i k o w a n y o k n e m H a n n i n g a
2 5
2 0
1 5
1 0
5
0
- 5
- 1 0
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
C z s t o t l i w o [ w H z
R y s . 4 P e r i o d o g r a m z m o d y f i k o w a n y o k n e m H a n n i n g a
N a r y s u n k u 4 m o |n a z a u w a |y , |e p r |k i w i d m a r o z s z e r z y By s i , a p o z i o m s z u m ó w w y d a j e
s i b y m n i e j s z y w p o r ó w n a n i u z p o p r z e d n i m i w y k r e s a m i .
P r z e d s t a w i o n e t u t a j m e t o d y : u [r e d n i a n i a o r a z z m o d y f i k o w a n e g o p e r i o d o g r a m u n a l e | d o
m e t o d o p a r t y c h n a a l g o r y t m i e W e l c h a . Z a w a r t e w p r z y b o r n i k u S P T f u n k c j e p s d i c s d
u m o |l i w i a j d o b ó r o d p o w i e d n i c h p a r a m e t r ó w a n a l i z y ( d Bu g o [ F F T , r o d z a j o k n a , s z e r o k o [
n a k Ba d a n i a s i p r ó b e k ) w t r a k c i e o b l i c z e D P S D i C S D d l a j e d n e g o l u b d w ó c h s y g n a Bó w p r z y
p o m o c y m e t o d y W e l c h a .
O b l i c z a n i e f u n k c j i w i d m o w e j g s t o [c i m o c y z a p o m o c p r o c e d u r S P T
F u n k c j a p s d u [r e d n i a i s k a l u j e z m o d y f i k o w a n y p e r i o d o g r a m z r e a l i z a c j i s y g n a Bu
p o z b a w i o n y c h t r e n d u . J a k o a r g u m e n t y f u n k c j i n a l e |y w y s z c z e g ó l n i p a r a m e t r y , k t ó r e s t e r u j
w y k o n a n i e m a l g o r y t m u .
F u n k c j a p s d , o b l i c z a j c e s t y m a t o r P S D d l a s e k w e n c j i x n u |y w a d o m y [l n i e o k n a c z a s o w e g o
H a n n i n g a o r a z F F T o d Bu g o [ 2 5 6 p r ó b e k . Z a d a n y c i g j e s t d z i e l o n y n a n i e n a k Ba d a j c e s i
s e k c j e o r a z j e s t u s u w a n y t r e n d .
P x x = p s d ( x n ) ;
J e [l i o r y g i n a l n a s e k w e n c j a w y r a |o n a j e s t w w o l t a c h V , P x x p o s i a d a j e d n o s t k V 2 .
P o n i |e j z o s t a B p o w t ó r z o n y o s t a t n i z p o d a n y c h p r z y k Ba d ó w . D o j e g o r e a l i z a c j i p r z y j t o 1 2 8
j a k o l i c z b n a k Ba d a j c y c h s i p r ó b e k o r a z n i e u s u n i t o t r e n d u z s y g n a Bu .
n f f t = 2 5 6 ;
F s = 1 0 0 0 ;
w i n d o w = h a n n i n g ( 2 5 6 ) ;
n o v e r l a p = 1 2 8 ;
d f l a g = ' n o n e ' ;
P x x = p s d ( x n , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , d f l a g ) ;
C z s t o t l i w o [ p r ó b k o w a n i a z a d a w a n a j a k o j e d e n z p a r a m e t r ó w , n i e o d g r y w a w i k s z e j r o l i w
o b l i c z e n i a c h , p o m a g a j e d n a k w s k a l o w a n i u o s i c z s t o t l i w o [c i w y k r e s u . F u n k c j a p s d b e z
|a d n y c h p a r a m e t r ó w w y j [c i o w y c h g e n e r u j e w y k r e s p r z e d s t a w i o n y n a r y s 5 .
p s d ( x n , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , d f l a g ) ;
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ H z ' ) ,
y l a b e l ( ' A m p l i t u d a w i d m o w a m o c y ( d B ) ' )
W i d m o m o c y ( d B )
2 5
2 0
1 5
1 0
5
0
- 5
- 1 0
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
C z s t o t l i w o [ H z
R y s . 5 P e r i o d o g r a m u z y s k a n y w w y n i k u d z i a Ba n i a f u n k c j i p s d
D o s t p d o w e k t o r a , d l a k t ó r e g o o b l i c z a n a j e s t P S D , u z y s k u j e m y d o d a j c d r u g i p a r a m e t r
w y j [c i o w y . W e k t o r t e n j e s t u |y t e c z n y p o d c z a s n i e a u t o m a t y c z n e g o w y k o n y w a n i a w y k r e s u
P S D .
[ P x x , f ] = p s d ( x n , F s , 2 5 6 , n o v e r l a p , d f l a g ) ;
p l o t ( f , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x ) )
D l a r z e c z y w i s t e g o s y g n a Bu x n , p s d o b l i c z a w i d m o w e g s t o [c i m o c y j e d y n i e d l a
c z s t o t l i w o [c i o d 0 d o c z s t o t l i w o [c i N y q u i s t a . W e w c z e [n i e j s z y c h p r z y k Ba d a c h , w k t ó r y c h
e s t y m a t o r P S D b y B g e n e r o w a n y p r z y p o m o c y F F T , z a k r e s c z s t o t l i w o [c i z a w i e r a B s i w
g r a n i c a c h o d 0 d o c z s t o t l i w o [c i p r ó b k o w a n i a .
O b c i |e n i e i n o r m a l i z a c j a
A n a l i z u j c p r z e d s t a w i o n e p o w y |e j w y n i k i o b l i c z e D f u n k c j i p s d , m o |n a z a u w a |y k i l k a
c h a r a k t e r y s t y c z n y c h c e c h a n a l i z o w a n e g o s y g n a Bu x n . P o z i o m s z u m ó w j e s t m a By , o s c y l u j e
w o k ó B z e r a d e c y b e l i ( d B ) i z z a Bo |e n i a j e s t t o b i a By s z u m o w a r i a n c j i 1 . P o n a d t o m o c s y g n a Bu
x n j e s t s k o n c e n t r o w a n a w d w ó c h p r |k a c h o c z s t o t l i w o [c i a c h 5 0 i 1 2 0 H z . P r |e k o
c z s t o t l i w o [c i 5 0 H z j e s t 6 d B p o n i |e j p r |k a o c z s t o t l i w o [c i 1 2 0 H z . N a t e j p o d s t a w i e
m o |n a s t w i e r d z i , |e s i n u s o i d a o w y |s z e j c z s t o t l i w o [c i p o s i a d a d w u k r o t n i e w i k s z
a m p l i t u d ( 1 0 6 / 2 0 = 2 . 0 ) . N i e s t e t y n a p o d s t a w i e r z e c z y w i s t e j w y s o k o [c i p r |k ó w n i e m o |n a
w i e l e p o w i e d z i e o o r y g i n a l n e j a m p l i t u d z i e s i n u s o i d b e z d o k o n a n i a d o d a t k o w y c h a n a l i z .
W c e l u u z y s k a n i a u |y t e c z n y c h i n f o r m a c j i o a m p l i t u d z i e p r |k ó w b a d a n y c h s i n u s o i d , t r z e b a
z a u w a |y , |e w a r t o [ o c z e k i w a n a e s t y m a t o r a P S D j e s t o k r e [l a n a w z o r e m :
À
)ð
1 2
E { P x x ( É ) } =
( 6 )
x x
2 +"P ( ¸ ) W ( É - ¸ ) d ¸
2 À w
- À
W i e l k o [ t a , j e s t s p l o t e m w a r t o [c i P S D z p o d n i e s i o n d o k w a d r a t u w a r t o [c i b e z w z g l d n
d y s k r e t n e j t r a n s f o r m a t y F o u r i e r a z a s t o s o w a n e g o o k n a W ( É) , p o d z i e l o n y p r z e z k w a d r a t j e g o
n o r m y . W i e l k o [ s k a l u j c a ( n o r m a o k n a ) j e s t s u m k w a d r a t ó w w s p ó Bc z y n n i k ó w f u n k c j i o k n a :
2
w = w ( n ) 2 ( 7 )
"
R ó w n a n i e ( 6 ) w s k a z u j e n a f a k t , |e j e [l i P ( É) p o s i a d a p r |e k o w y s o k o [c i 1 p r z y o k r e [l o n e j
x x
2 2
W ( 0 ) / w
c z s t o t l i w o [c i É , t o e s t y m a t o r b d z i e w p r z y b l i |e n i u p r z y j m o w a B w a r t o [
d l a
0
t e j c z s t o t l i w o [c i . T a k w i c , b y u z y s k a e s t y m a t o r a m p l i t u d y o r y g i n a l n y c h p r |k ó w , n a l e |y
p o m n o |y w y n i k d z i a Ba n i a f u n k c j i p s d p r z e z n o r m 2 ( w ) / s u m 2 ( w ) , g d z i e w j e s t w e k t o r e m o k n a .
A m p l i t u d a w i d m o w a m o c y ( d B )
W y n i k a t o z t w i e r d z e n i a P a r s e v a l a i | s u m 2 ( w ) = s u m 2 ( W ) . S k a l o w a n i e j e s t n i e z a l e |n e o d
d Bu g o [c i i k s z t a Bt u o k n a . P r z y k Ba d o w o :
w 1 = h a n n i n g ( 2 5 6 ) ; w 2 = h a n n i n g ( 5 0 0 ) ;
[ P x x 1 , f 1 ] = p s d ( x n , 2 5 6 , F s , w 1 , 1 2 8 , ' n o n e ' ) ;
[ P x x 2 , f 2 ] = p s d ( x n , 1 0 2 4 , F s , w 2 , 2 5 0 , ' n o n e ' ) ;
s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 ) , p l o t ( f 1 , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x 1 * n o r m ( w 1 ) ^ 2 / s u m ( w 1 ) ^ 2 ) , . . .
' b l a c k ' ) , g r i d ,
s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 ) , p l o t ( f 2 , 1 0 * l o g 1 0 ( P x x 2 * n o r m ( w 2 ) ^ 2 / s u m ( w 2 ) ^ 2 ) , . . .
' b l a c k ' ) , g r i d
N a o b y d w u w y k r e s a c h ( r y s . 6 ) , k t ó r e p o k a z u j w i d m a j e d y n i e d l a d o d a t n i c h c z s t o t l i w o [c i
( c z s t o t l i w o [c i u j e m n e s t a k i e s a m e ) , p r |e k d l a w y |s z e j c z s t o t l i w o [c i p o s i a d a w a r t o [ 0
d B , a d l a n i |s z e j - 6 d B . A m p l i t u d a s i n u s o i d y o c z s t o t l i w o [c i 1 2 0 H z , 0 d B , o d p o w i a d a
k w a d r a t o w i a m p l i t u d y r ó w n e m u 1 . W y n i k a t o z f a k t u , i | s i n u s o i d a o a m p l i t u d z i e r ó w n e j 2
p o s i a d a w i d m o z d w o m a e k s p o n e n c j a l n y m i s k Ba d n i k a m i o a m p l i t u d z i e 1 , d l a d o d a t n i c h i
u j e m n y c h c z s t o t l i w o [c i . P o d o b n i e , s i n u s o i d a o c z s t o t l i w o [c i 5 0 H z p o s i a d a d w a s k Ba d n i k i
c z s t o t l i w o [c i , d o d a t n i i u j e m n y , r ó w n e k w a d r a t o m a m p l i t u d y ( 1 / 2 ) 2 l u b 1 0 l o g 1 0 ( 0 . 2 5 ) = - 6
d B .
N a l e |y r ó w n i e | z a u w a |y , |e d r u g i w y k r e s p o s i a d a n i e z n a c z n i e n i |s z y p o z i o m s z u m u ,
b d c y w y n i k i e m w i k s z e j d Bu g o [c i o k n a .
0
- 1 0
- 2 0
- 3 0
- 4 0
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
0
- 1 0
- 2 0
- 3 0
- 4 0
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
R y s . 6 P r z e s k a l o w a n e p e r i o d o g r a m y
Z w i z e k P a r s e v a l a
C a Bk a z P S D , o b l i c z o n a d l a c a Be g o p a s m a c z s t o t l i w o [c i , j e s t m i a r c a Bk o w i t e j e n e r g i i
s y g n a Bu . Z a p o m o c o b l i c z e n i a f u n k c j i p s d m o |n a w p r z y b l i |e n i u s p r a w d z i t z a l e |n o [
( z g o d n o [ o b l i c z e D e n e r g i i w d z i e d z i n i e c z a s u i c z s t o t l i w o [c i ) d l a d a n e g o s y g n a Bu :
[ P x x , f ] = p s d ( x n , 2 5 6 , F s , 2 5 6 , 1 2 8 , ' n o n e ' ) ;
f o r m a t l o n g
s u m ( x n . ^ 2 ) / l e n g t h ( x n )
" a n s =
" 3 . 6 0 3 7 6 7 6 6 5 0 5 0 4 0
s u m ( P x x ) / l e n g t h ( P x x )
" a n s =
" 3 . 6 8 4 3 0 0 7 7 8 3 8 7 0 0
O b l i c z e n i e p r o c e n t o w e j z a w a r t o [c i e n e r g i i w s y g n a l e w d a n y m p a [m i e c z s t o t l i w o [c i ,
w y m a g a z s u m o w a n i a e s t y m a t o r a P S D j e d y n i e d l a w y b r a n y c h p r |k ó w w i d m a . T a k w i c
p r o c e n t o w e n e r g i s y g n a Bu x n w p a [m i e o d 4 0 d o 6 0 H z w y z n a c z a s i s t o s u j c s e k w e n c j e
i n s t r u k c j i M a t l a b a :
i n d = f i n d ( f > 4 0 & f < 6 0 )
" i n d =
" 1 2
" 1 3
" 1 4
" 1 5
" 1 6
s u m ( P x x ( i n d ) ) / s u m ( P x x )
" a n s =
" 0 . 1 3 3 6 9 4 5 0 4 6 3 4 0 4
O b l i c z e n i e f u n k c j i w z a j e m n e j g s t o [c i w i d m o w e j
E s t y m u j c , p r z y p o m o c y m e t o d y W e l c h a , w z a j e m n g s t o [ w i d m o w d w ó c h s y g n a Bó w o
r ó w n e j d Bu g o [c i x i y , f u n k c j a c s d o b l i c z a p e r i o d o g r a m j a k o i l o c z y n F F T z x o r a z w a r t o [c i
s p r z |o n e j d o w y n i k u F F T z y . P r z e t w a r z a n i e s y g n a Bó w p r z y p o m o c y f u n k c j i c s d ( a w i c :
d z i e l e n i e n a p r ó b k i , u s u w a n i e t r e n d u , s t o s o w a n i e o k i e n ) o d b y w a s i w t e n s a m s p o s ó b , j a k d l a
f u n k c j i p s d .
P x y = c s d ( x , y , n f f t , w i n d o w , n o w e r l a p , d f l a g ) ;
P r z e d z i a By u f n o [c i
Z a p o m o c f u n k c j i p s d i c s d m o |n a o b l i c z a p r z e d z i a By u f n o [c i d l a e s t y m a t o r ó w g s t o [c i
w i d m o w y c h . M o |n a w p r o w a d z i j a k o a r g u m e n t w e j [c i o w y p a r a m e t r p , k t ó r y p o d a j e
p r z e d z i a B u f n o [c i ( w p r o c e n t a c h ) .
[ P x x , P x x c , f ] = p s d ( x , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , . . .
p , d f l a g ) ;
[ P x y , P x y c , f ] = c s d ( x , y , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , . . .
p , d f l a g ) ;
P a r a m e t r p m u s i b y w i e l k o [c i s k a l a r n z a w a r t w g r a n i c a c h o d 0 d o 1 .
F u n k c j e z a k Ba d a j n o r m a l n y r o z k Ba d p e r i o d o g r a m u z n i e n a k Ba d a j c y m i s i p r ó b k a m i . J e [l i t e
z a Bo |e n i a s s p e Bn i o n e , w t e d y p Å"1 0 0 % j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m , |e w p r z e d z i a l e [ P x x -
P x x c ( : , 1 ) , P x x + P x x c ( : , 2 ) ] z a w i e r a s i r z e c z y w i s t a w a r t o [ P S D . J e [l i p r ó b k i
n a k Ba d a j s i , p r z e d z i a B u f n o [c i n i e j e s t w y z n a c z o n y p o p r a w n i e , a f u n k c j a w y [w i e t l a
o s t r z e |e n i e .
I n n y m r o z w i z a n i e m j e s t p r z y j c i e z a Bo |e n i a , |e p e r i o d o g r a m y p o s i a d a j r o z k Ba d c h i
k w a d r a t . J e [l i d o s t p n y j e s t p r z y b o r n i k S t a t i s t i c s T o o l b o x , m o |n a o b l i c z y p o z i o m u f n o [c i
p Å"1 0 0 % d l a t a k p r z y j t e g o r o z k Ba d u , s t o s u j c n a s t p u j c e f u n k c j e :
k = f i x ( ( l e n g t h ( x ) - n o v e r l a p ) / ( l e n g t h ( w i n d o w ) - n o v e r l a p ) ) ;
a l f a = 1 - p ;
c o n f i d = 2 * k * P x x * ( 1 . / c h i 2 i n v ( [ 1 - a l f a / 2 a l f a / 2 ] , 2 * k ) ) ;
g d z i e k j e s t l i c z b s e k c j i u |y t y c h d o o b l i c z e n i a e s t y m a t o r a P S D , z a [ c o n f i d j e s t
d w u k o l u m n o w m a c i e r z , s k Ba d a j c s i z g ó r n y c h i d o l n y c h z a k r e s ó w u f n o [c i . W ó w c z a s
m a m y p Å"1 0 0 % - o w e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e p o z i o m u f n o [c i [ P x x - c o n f i d ( : , 1 )
P x x + c o n f i d ( : , 2 ) ] z a w i e r a r z e c z y w i s t P S D . T e n p o z i o m u f n o [c i j e s t w i a r y g o d n y
j e d y n i e , g d y s e k c j e n i e p o k r y w a j s i .
E s t y m a t o r f u n k c j i p r z e j [c i a
J e d n y m z z a s t o s o w a D m e t o d y W e l c h a j e s t i d e n t y f i k a c j a m o d e l i f u n k c j o n a l n y c h . J e d n y m z
t e g o r o d z a j u m o d e l i j e s t f u n k c j a p r z e j [c i a u k Ba d u . Z a k Ba d a s i , |e b a d a n y o b i e k t H j e s t
u k Ba d e m l i n i o w y m o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h , o r a z x ( n ) i y ( n ) s o d p o w i e d n i o j e g o w e j [c i e m
i w y j [c i e m . W t e d y p r a w d z i w a j e s t z a l e |n o [:
P x y ( É ) = H ( É ) P x x ( É )
( 8 )
g d z i e H j e s t w i d m o w f u n k c j p r z e j [c i a .
Z n a j c s y g n a By x ( n ) i y ( n ) m o |n a z d e f i n i o w a e s t y m a t o r f u n k c j i p r z e j [c i a u k Ba d u j a k o :
Æ
P x y ( É )
$( É ) =
( 9 )
Æ
P x x ( É )
M e t o d a t a p o z w a l a n a e s t y m a c j z a r ó w n o a m p l i t u d y j a k i f a z y s y g n a Bu . F u n k c j a f t e
w y k o r z y s t u j e m e t o d W e l c h a d o o b l i c z e n i a C S D i P S D , a n a s t p n i e f o r m u j e i c h i l o r a z w c e l u
e s t y m o w a n i a f u n k c j i p r z e j [c i a . F u n k c j a t f e p o s i a d a t a k s a m s k Ba d n i j a k f u n k c j a c s d .
W p o n i |s z y m p r o g r a m i e p r z e f i l t r o w a n o s y g n a B x n p r z y p o m o c y f i l t r u F I R , a n a s t p n i e
w y z n a c z o n o c h a r a k t e r y s t y k a m p l i t u d o w o - c z s t o t l i w o [c i o w o r a z e s t y m o w a n f u n k c j
p r z e j [c i a :
h = o n e s ( 1 , 1 0 ) / 1 0 ;
y n = f i l t e r ( h , 1 , x n ) ;
[ H e s t , f ] = t f e ( x n , y n , 2 5 6 , F s , 2 5 6 , 1 2 8 , ' n o n e ' ) ;
H = f r e q z ( h , 1 , f , F s ) ;
s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 ) , p l o t ( f , a b s ( H ) , ' b l a c k ' )
t i t l e ( ' R z e c z y w i s t a a m p l i t u d a f u n k c j i p r z e j [c i a ' )
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ w H z ' )
s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 ) , p l o t ( f , a b s ( H e s t ) , ' b l a c k ' )
t e x t ( 1 1 0 , 1 . 0 8 , ' E s t y m a t a a m p l i t u d y f u n k c j i p r z e j [c i a ' )
x l a b e l ( ' C z s t o t l i w o [ w H z ' )
F u n k c j a k o h e r e n c j i
F u n k c j a k o h e r e n c j i o k r e [l a z w i z e k p o m i d z y d w o m a s y g n a Ba m i w d z i e d z i n i e c z s t o t l i w o [c i .
K w a d r a t m o d u Bu k o h e r e n c j i p o m i d z y s y g n a Ba m i x ( n ) i y ( n ) w y z n a c z a s i z e w z o r u :
2
P x y ( É )
( 1 0 )
C x y ( É ) =
P x x ( É ) P y y ( É )
I l o r a z t e n j e s t l i c z b r z e c z y w i s t z p r z e d z i a By [ 0 , 1 ] i j e s t m i a r k o r e l a c j i p o m i d z y s y g n a Ba m i
x ( n ) i y ( n ) d l a d a n e j c z s t o t l i w o [c i É.
F u n k c j a c o h e r e d l a z a d a n y c h c i g ó w p r ó b e k x i y o b l i c z a P S D i C S D , a n a s t p n i e i l o r a z
k w a d r a t u w a r t o [c i b e z w z g l d n e j C S D p r z e z i l o c z y n P S D d l a x i y . J e j p a r a m e t r y i s p o s ó b
d z i a Ba n i a j e s t p o d o b n y d o f u n k c j i c s d i t f e .
F u n k c j k o h e r e n c j i p o m i d z y c i g i e m w e j [c i o w y m x n i w y j [c i o w y m y n f i l t r u r o z w a |a n e g o
w p o p r z e d n i m r o z d z i a l e w y z n a c z o n o z a p o m o c s e k w e n c j i i n s t r u k c j i :
R z e c z y w i s t a a m p l i t u d a f u n k c j i p r z e j [c i a
1
0 . 5
0
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
C z s t o t l i w o [ w H z
E s t y m a t a a m p l i t u d y f u n k c j i p r z e j [c i a
1
0 . 5
0
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
C z s t o t l i w o [ w H z
R y s . 7 C h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u d o w o - c z s t o t l i w o [c i o w e z a d a n e j i e s t y m o w a n e j f u n k c j i p r z e j [c i a f i l t r u
c l f ,
c o h e r e ( x n , y n , 2 5 6 , F s , 2 5 6 , 1 2 8 , ' n o n e ' )
t i t l e ( ' F u n k c j a k o h e r e n c j i ' )
F u n k c j a k o h e r e n c j i
1
0 . 9
0 . 8
0 . 7
0 . 6
0 . 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
C z s t o t l i w o [
R y s . 8 P r z e b i e g f u n k c j i k o h e r e n c j i
D l a s y g n a Bó w z p o p r z e d n i e g o p r z y k Ba d u k o h e r e n c j a o b l i c z o n a z a p o m o c f u n k c j i c o h e r e
w y n o s i 1 .
U w a g a
W o b e c n y c h w e r s j a c h t o o l b o x u S i g n a l P r o c e s s i n g p r z e p i s a n o f u n k c j e o b l i c z a j c y c h
e s t y m a t o r y d z i a Ba j c e w d z i e d z i n i e c z s t o t l i w o [c i . W c h w i l i o b e c n e j z m i e n n i e m o g b y
s t o s o w a n e f u n k c j e :
E s t y m a t o r f u n k c j i k o h e r e n c j i
d o o b l i c z a n i a g s t o [c i w i d m o w e j m o c y :
[ P x x , f ] = p s d ( x n , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , d f l a g ) ;
[ P x x , f ] = p w e l c h ( x n , w i n d o w , n o v e r l a p , n f f t , F s ) ;
d o o b l i c z a n i a w z a j e m n e j g s t o [c i w i d m o w e j
[ P x x , f ] = c s d ( x n , y n , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , d f l a g )
[ P x x , f ] = c p s d ( x n , y n , w i n d o w , n o v e r l a p , n f f t , F s ) ;
d o o b l i c z a n i a w i d m o w e j f u n k c j i p r z e j [c i a :
[ P x x , f ] = t f e ( x n , y n , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , d f l a g )
[ P x x , f ] = t f e s t i m a t e ( x n , y n , w i n d o w , n o v e r l a p , n f f t , F s ) ;
d o o b l i c z a n i a f u n k c j i k o h e r e n c j i :
[ P x x , f ] = c o h e r e ( x n , y n , n f f t , F s , w i n d o w , n o v e r l a p , d f l a g )
[ P x x , f ] = m s c o h e r e ( x n , y n , w i n d o w , n o v e r l a p , n f f t , F s ) ;
Z a d a n i a d o w y k o n a n i a
1 . W y k o n a s y m u l a c j u k Ba d u t e s t o w a n e g o o d w ó c h s t o p n i a c h s w o b o d y d l a p a r a m e t r ó w
u s t a l o n y c h w t r a k c i e z a j z m o d e l o w a n i a . Z a r e j e s t r u j s y g n a By t e s t o w e w p o s t a c i
p r z e b i e g ó w w y m u s z a j c y c h o r a z s y g n a Bó w o d p o w i e d z i d l a p o s z c z e g ó l n y c h s t o p n i
s w o b o d y . S y g n a By o d p o w i e d z i p o w i n n y b y w p o s t a c i w e k t o r ó w p r z e m i e s z c z e D,
p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e D o o d p o w i e d n i e j d Bu g o [c i .
D a n e : M = 1 0 , M = 7 , C = 0 . 7 , C = 0 . 9 , C = 0 . 7 , K = 1 2 0 , K = 2 0 0 , K = 1 7 0
1 2 1 2 3 1 2 3
2 . D l a z a p i s a n y c h d a n y c h d o k o n a j w y z n a c z e n i a e s t y m a t o r ó w g s t o [c i w i d m o w y c h
m o c y , w i d m o w y c h f u n k c j i p r z e j [c i a o r a z f u n k c j i k o h e r e n c j i . A b y e s t y m a t o r y m i a By
z n a c z e n i e s t a t y s t y c z n e k o n i e c z n a j e s t p r a c a z p r z e b i e g a m i o o d p o w i e d n i e j d Bu g o [c i .
W y k o n a j n i e z a l e |n e g o w y z n a c z e n i a s t o s o w n y c h e s t y m a t o r ó w b a z u j c n a s y g n a l e
w y m u s z a j c y m o r a z :
" s y g n a Ba c h p r z y s p i e s z e D
" s y g n a Ba c h p r d k o [c i
" s y g n a Ba c h p r z e m i e s z c z e D.
3 . P o r ó w n a j w y k o n u j c s t o s o w n e w y k r e s y w y n i k i e s t y m a c j i u z y s k a n e w p u n k c i e 2 .
S k o m e n t u j w y n i k i e k s p e r y m e n t u .
4 . P o w t ó r z z a d a n i a 2 i 3 d o d a j c d o s y m u l a c y j n y c h d a n y c h w y j [c i o w y c h s z u m o
a m p l i t u d a c h n a p o z i o m i e 1 0 % i 2 0 % s y g n a Bu .
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