plik


Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA Oznaczenia: N = {1, 2, 3, . . .} Natural Z = {0, 1, 2, 3, . . .} Zahl p Q R N Q = : p, q " Z '" q = 0 Quotient Z q R = zbir liczb rzeczywistych. Real N " Z " Q " R 1 PrzeksztaBcenia wyra|eD algebraicznych, wzory skr- conego mno|enia. Definicja 1. Wyra|eniem algebraicznym nazywamy jedn lub kilka wielko[ci algebraicznych: liczb, symboli literowych, poBczonych znakami dziaBaD, takimi jak dodawanie  + , odejmowanie " n  - , mno|enie   , dzielenie  : , potgowanie  ()n , pierwiastkowanie   itp. oraz r|nego rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalaj ustali kolejno[ wykonywania dziaBaD arytmetycznych. 2 " " " a + b a2 - 3 x + 1 1 PrzykBady wyra|eD algebraicznych: , , " " : " . b - a a - b x x + x + x x2 - x Definicja 2. To|samo[ algebraiczna to taka rwno[ dwu wyra|eD algebraicznych, |e po wsta- wieniu dowolnych warto[ci liczbowych w miejsce symboli literowych rwno[ jest prawdziwa. Podstawowe to|samo[ci algebraiczne - WZORY SKRCONEGO MNO{ENIA: (a b)2 = a2 2ab + b2 (1) (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 (2) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (3) a2 - b2 = (a - b)(a + b) (4) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) (5) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) (6) a4 - b4 = (a - b)(a + b)(a2 + b2) (7) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1), n > 1, n " N (8) n n! n n (a + b)n = an-kbk, gdzie n " N, = . (9) k k (n - k)!k! k=0 Definicja 3. PrzeksztaBceniem to|samo[ciowym nazywamy dowolne przeksztaBcenie danego wy- ra|enia algebraicznego, ktre produkuje wyra|enie to|samo[ciowo mu rwne. PrzeksztaBceniem wyra|eD algebraicznych nazywamy sprowadzenie ich do rwnowa|nych (na ogB prostszych) postaci, np. w celu skrcenia danego wyra|enia, usunicia niewymierno[ci z mianow- nika itp.: " " " " a a + b a(a - b) - a2 b a " = , = . " ab - a2 a - b a - b a - b 1 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 2 Funkcje trygonometryczne. 2.1 Kt i jego miara Definicja 4. Cz[ci pBaszczyzny ograniczone dwiema pBprostymi p i q wychodzcymi ze wspl- nego punktu O nazywamy ktami, przy czym kt  jest ktem wypukBym, za[  ktem wklsBym. PBproste k i l nazywamy ramionami tych ktw, a punkt O ich wierzchoBkiem. q   p O Miara stopniowa stosowana w geometrii oparta jest na podziale peBnego kta na 360 rwnych cz[ci, tzn. 360%. Dalszego podziaBu dokonuje si w systemie sze[dziesitkowym, tzn. 1% = 602 1 (minut), 12 = 602 2 (sekund). Do ilo[ciowego opisu kta stosuje si rwnie| tzw. miar Bukow. Miar Bukow kta nazywamy liczb  bdc stosunkiem dBugo[ci l Buku okrgu o [rodku w O, zawartego wewntrz kta, do promienia okrgu r. Jednostk miary Bukowej jest radian (rad) bdcy miar kta, ktrego dBugo[ Buku okrgu l jest rwna promieniowi okrgu. 1 rad = 57%172 44, 82 2 = 57,2958% q l  = l r  r p O Kt, ktrego jedno rami p wyr|niamy jako pocztkowe, a drugie q jako koDcowe nazywamy ktem skierowanym. q Kt skierowany otrzymujemy przez obrt na pBaszczyznie pBprostej wycho-  dzcej z ustalonego punktu O. Je|eli kierunek obrotu jest przeciwny do ruchu p O wskazwek zegara, to przyjmujemy, |e kt ma miar dodatni, a je|eli kieru- nek jest zgodny z ruchem wskazwek zegara, to kt ma miar ujemn. 2.2 Funkcje trygonometryczne kta skierowanego Niech  bdzie miar dowolnego kta skierowanego na pBaszczyznie XOY . Wwczas 1 W geodezji kt pBaski mierzy si w gradusach. Kt peBny odpowiada 400 gradusom. 2 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA y sin() : R "  ! sin  = , r y x P (x, y) 1 cos() : R "  ! cos  = , r y r  y  tg() : R \ + k : k " Z "  ! tg  = , x x 2 x -1 1 x ctg() : R \ {k : k " Z} "  ! ctg  = . y 2.3 Zwizki midzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego ar- gumentu ""R sin2  + cos2  = 1 sin  " tg  = ,  "R\ +k:k"Z { } 2 cos  cos  ""R\{k: k"Z} ctg  = , sin  " tg  ctg  = 1. k "R\ : k"Z { } 2 2.4 Funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu oraz sumy i r|nicy argumentw sin( ) = sin  cos  cos  sin , cos( ) = cos  cos  " sin  sin , sin 2 = 2 sin  cos , cos 2 = cos2  - sin2  = 2 cos2  - 1 = 1 - 2 sin2 . 2.5 Okresowo[ funkcji trygonometrycznych Funkcje sin() i cos() s funkcjami okresowymi o okresie podstawowym 2, natomiast funkcje tg() i ctg() s funkcjami okresowymi o okresie podstawowym , tzn. sin( + 2k) = sin , k " Z, cos( + 2k) = cos , k " Z, tg( + k) = tg , k " Z, ctg( + k) = ctg , k " Z. 2.6 Parzysto[ funkcji trygonometrycznych Funkcja cos() jest funkcj parzyst, za[ pozostaBe funkcje s nieparzyste, tzn.: cos(-) = cos , sin(-) = - sin , tg(-) = tg , ctg(-) = - ctg . 3 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 2.7 Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczeglnych wiartkach Zakres kta;  " (0, 90%) (90%, 180%) (180%, 270%) (270%, 360%)   3 3 0, ,  ,  , 2 2 2 2 2 sin  + + - - cos  + - - + tg  + - + - ctg  + - + - 2.8 Warto[ci funkcji trygonometrycznych podstawowych argumentw  = Kt w stopniach 0% 30% 45% 60% 90% 180% 270% 360%     3 Miara Bukowa 0   2 6 4 3 2 2 " " 1 2 3 sin  0 1 0 -1 0 2 2 2 " " 3 2 1 cos  1 0 -1 0 1 2 2 2 " " 3 tg  0 1 3 0 0 3 " " 3 ctg  3 1 0 0 3 2.9 Wzory redukcyjne  =   3 3 -  +   -   +   -   +  2 -  2 +  2 2 2 2 sin  cos  cos  sin  - sin  - cos  - cos  - sin  sin  cos  sin  - sin  - cos  - cos  - sin  sin  cos  cos  tg  ctg  - ctg  - tg  tg  ctg  - ctg  - tg  tg  ctg  tg  - tg  - ctg  ctg  tg  - tg  - ctg  ctg  UWAGA! Wzory redukcyjne mo|na zapamita stosujc dwie zasady: ZASADA I: Ustalanie znaku, patrz 2.7.  3 ZASADA II: W  okolicach i  funkcja zmienia si na kofunkcj (tzn. sin() na cos(), cos() 2 2 na sin(), tg() na ctg() i ctg() na tg()). 2.10 Wykresy funkcji trygonometrycznych Niech x bdzie argumentem funkcji trygonometrycznych. Wtedy mamy nastpujcy opis tych funkcji y = sin x, y = cos x, y = tg x i y = ctg x. 4 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA y y 1 1 x x arc(x)  -1 1x - -1 -1 Rysunek 1: Konstrukcja sinusoidy. y x 1 1 x y x arc(x)  -1 1 - -1 -1 Rysunek 2: Konstrukcja cosinusoidy. y y = sin x 1 - 2  -2 -  2x 2 -1 Rysunek 3: Wykres funkcji sin() (sinusoida). y y = cos x 1  - -2 -  2x 2 2 -1 Rysunek 4: Wykres funkcji cos() (cosinusoida). 5 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA y 2 y = tg x 1  3 x - -3 -2 -  2 2 2 2 2 -1 -2 Rysunek 5: Wykres funkcji tg() (tangensoida) y 2 y = ctg x 1  x - -2 -  2 2 2 -1 -2 Rysunek 6: Wykres funkcji ctg() (cotangensoida). 6 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 3 Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Funkcje cyklometryczne (funkcje koBowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziaBw. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na caBym zbio- rze R nie s oczywi[cie r|nowarto[ciowe, ale je[li zawzimy dziedziny do pewnych przedziaBw     (sin : - , ! -1, 1 ; cos : 0,  ! -1, 1 ; tg : - , ! R; ctg 0,  ! R), to tak 2 2 2 2 okre[lone funkcje bd ju| r|nowarto[ciowe i maj funkcje odwrotne.   Definicja 5. Funkcj odwrotn do funkcji sin (sinus) obcitej do przedziaBu - , nazywamy 2 2 arc sin (arkus sinus). Mamy zatem   arc sin x = y !! sin y = x dla - 1 x 1, - y . 2 2 Dziedzin funkcji arc sin jest przedziaB Darc sin = -1, 1 , za[ zbiorem warto[ci przedziaB   Rarc sin = - , . y 2 2  y = arc sin x 2 y y = sin x 1 - 2  x x - -1 1 2 -1 - 2 Rysunek 7: Wykresy funkcji y = sin x i y = arc sin x. Definicja 6. Funkcj odwrotn do funkcji cos (cosinus) obcitej do przedziaBu 0,  nazywamy arc cos (arkus cosinus). Mamy zatem arc cos x = y !! cos y = x dla - 1 x 1, 0 y . Dziedzin funkcji arc cos jest przedziaB Darc cos = -1, 1 , za[ zbiorem warto[ci przedziaB y Rarc cos = 0,  .  y y = cos x 1  y = arc cos x 2  x -  - 2 2 -1 x -1 1 Rysunek 8: Wykresy funkcji y = cos x i y = arc cos x. 7 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA   Definicja 7. Funkcj odwrotn do funkcji tg (tangens) obcitej do przedziaBu - , nazy- 2 2 wamy arc tg (arkus tangens). Mamy zatem   arc tg x = y !! tg y = x dla x " R, - < y < . 2 2   Dziedzin funkcji arc tg jest Darc tg = R, za[ zbiorem warto[ci przedziaB Rarc tg = - , . 2 2 y y  2 y = tg x 1 y = arc tg x  x - x - 2 2 -1 - 2 Rysunek 9: Wykresy funkcji y = tg x i y = arc tg x. Definicja 8. Funkcj odwrotn do funkcji ctg (cotangens) obcitej do przedziaBu (0, ) nazy- wamy arc ctg (arkus cotangens). Mamy zatem arc ctg x = y !! ctg y = x dla x " R, 0 < y < . Dziedzin funkcji arc ctg jest Darc ctg = R, za[ zbiorem warto[ci przedziaB Rarc ctg = (0, ). y y  y = ctg x 1 y = arc ctg x  - x - 2 2 -1 x Rysunek 10: Wykresy funkcji y = ctg x i y = arc ctg x. Uwaga 9. Wykresy funkcji cyklometrycznych otrzymujemy odbijajc symetrycznie wzgldem pro- stej y = x wykresy funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziaBw: 8 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA y = x y = x y y   y = arc sin x y = arc sin x y = arcsin x 2 2 y = tg x y = tg x y = tg x y = sin x y = arc tg x y = sin x y = arc tg x y = sin x y = arctg x x x -1 1 - - 2 2 y y   y = x y = arc cos x y = arc cos x y = arc cosx y = x y = arc ctg x y = arc ctg x y = arc ctg x  2 y = cos x y = cos x y = cos x x x -1 1 2 3 y = ctg x y = ctg x y = ctg x 3.1 Podstawowe to|samo[ci z funkcjami cyklometrycznymi  arc sin x + arc cos x = , dla ka|dego x " -1, 1 . (10) 2  arc tg x + arc ctg x = , dla ka|dego x " R. (11) 2 9 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 4 Wielomiany i dziaBania na nich. Definicja 10. Jednomianem jednej zmiennej nazywamy wyra|enie postaci axn, gdzie a jest ustalon liczb rzeczywist, zwan wspBczynnikiem jednomianu, n jest liczb naturaln, a x jest zmienn. 1 2 m Jednomianem m zmiennych nazywamy wyra|enie postaci axn xn xn , gdzie a jest ustalon 1 2 m liczb rzeczywist, zwan wspBczynnikiem jednomianu, n1, n2, . . . , nm " N, a x1, x2, . . . , xm s zmiennymi. PrzykBady jednomianw: 2xz, -7a, x3y2z. " a Wyra|enia algebraiczne , 2 x nie s jednomianami. b Definicja 11. Wielomianem nazywamy wyra|enie bdce sum jednomianw lub jednomianem. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyra|enie, ktre ma posta anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0, gdzie an, an-1, . . . , a2, a1, a0 " R, an = 0 i n " N. Liczby an, an-1, . . . , a2, a1, a0 nazywamy wspBczynnnikami wielomianu. Je|eli an = an-1 = . . . = a2 = a1 = 0 i a0 = 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem staBym, a jego stopieD rwna si zeru. Je|eli an = an-1 = . . . = a2 = a1 = a0 = 0, to taki wielomian nazywamy wielomianem zerowym. Przyjmuje si, |e stopieD wielomianu zerowego nie jest okre[lony. Uwaga 12. Funkcja liniowa f(x) = ax + b, gdzie a " R \ {0}, b " R, jest wielomianem stopnia pierwszego, natomiast funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a " R \ {0}, b, c " R, jest wielomianem stopnia drugiego. Dwa wielomiany s rwne wtedy i tylko wtedy, gdy s wielomianami tego samego stopnia i maj rwne wspBczynniki przy odpowiednich potgach zmiennej. Na przykBad wielomiany W (x) = 2x3 + x2 - 3x + 1 i Q(x) = 1 - 3x + x2 + 2x3 s rwne. Je|eli w wielomianie jednej zmiennej w miejsce zmiennej podstawimy ustalon liczb, to po wykonaniu wskazanych dziaBaD otrzymamy warto[ wielomianu dla tej liczby. W wielomianie m zmiennych nale|y podstawi cig m liczb, aby otrzyma warto[ liczbow wielomianu dla tego cigu. W zbiorze wielomianw tych samych zmiennych wykonalne s nastpujce dziaBania: dodawanie, odejmowanie i mno|enie. Aby doda wielomian musimy doda wyrazy podobne oraz uporzdkowa je. Mno|enie wielomianw polega na wymno|eniu przez siebie wyrazw obu wielomianw. DziaBania dodawania i mno|enia s dziaBaniami przemiennymi oraz Bcznymi. PrzykBad 13. Niech W (x) = x2 - 1 i Q(x) = 2x3 - x2 - 1. Wtedy W (x) + Q(x) = 2x3 - 2, W (x) - Q(x) = -2x3 + 2x2, W (x) Q(x) = 2x5 - x4 - 2x3 + 1. 10 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA Dzielenie wielomianw wykonujemy podobnie do dzielenia liczb caBkowitych. W (x) x4 - 1 PrzykBad 14. Niech W (x) = x4 - 1 i P (x) = x + 1. Wtedy = = x3 - x2 + x - 1. P (x) x + 1 Wielomian W jest podzielny przez wielomian P , je|eli istnieje wielomian Q, taki |e W (x) = P (x)Q(x). Np. wielomian x2 - 1 jest podzielny przez wielomian x + 1, gdy| x2 - 1 = (x + 1)(x - 1). Twierdzenie 15 (Twierdzenie o dzieleniu z reszt wielomianw). Dla ka|dego wielomianu W i ka|dego niezerowego wielomianu P istniej wielomiany Q i R, takie |e W = QP + R i stopieD wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu P lub wielomian R jest wielomianem zerowym. Wielomian R nazywamy reszt z dzielenia W przez P . PrzykBad 16. Niech W (x) = x4 - x2 i P (x) = x2 - 2. Wtedy W (x) x4 - x2 2 = = x2 + 1 + ! x4 - x2 = (x2 + 1)(x2 - 2) + 2. P (x) x2 - 2 x2 - 2 Zatem wielomian R(x) = 2 jest reszt z dzielenia W przez P . Je|eli R jest wielomianem zerowym, to mwimy, |e wielomian P jest dzielnikiem wielomianu W . Wwczas otrzymujemy rwno[ W = QP , z ktrej wynika, |e Q te| jest dzielnikiem W . 4.1 Twierdzenie Bzoute a, rozkBad wielomianu na czynniki, rwna- nia, nierwno[ci wielomianowe Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 nazywamy liczb x0 " R, dla ktrej warto[ wielomianu jest rwna 0, tzn. W (x0) = 0. Twierdzenie 17 (Twierdzenie Bzoute a). Liczba x0 jest miejscem zerowym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x - x0). Dowd. ZaB|my, |e liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W . Na mocy Twierdzenia o dzie- leniu z reszt (patrz Twierdzenie 15) mamy W (x) = (x - x0)Q(x) + R, gdzie Q i R s wie- lomianami, przy czym R jest wielomianem staBym. Podstawiajc x = x0 dostajemy W (x0) = (x0 - x0)Q(x0) + R = R. Z zaBo|enia wiemy, |e W (x0) = 0, zatem R a" 0, wic wielomian W jest podzielny przez dwumian x - x0. Odwrotnie, niech W (x) = (x-x0)P (x), gdzie P (x) jest pewnym wielomianem. Wwczas W (x0) = (x0 - x0)P (x0) = 0. 11 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA p Twierdzenie 18. Je[li x0 = , gdzie p, q " Z i q = 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu q W (x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, gdzie an = 0 i ai " Z, i = 0, . . . , n, to p dzieli a0 i q dzieli an. p Dowd. ZaB|my, |e x0 = , gdzie p, q " Z i q = 0, jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu q p W oraz liczby p i q s wzgldnie pierwsze. Wtedy W = 0, tzn. q pn pn-1 p an + an-1 + + a1 + a0 = 0. qn qn-1 q Std an pn + an-1 pn-1 q + + a1 p qn-1 + a0 qn = 0, zatem a0 qn = -p an pn-1 + an-1 pn-2 q + + a1 qn-1 , (12) an pn = -q an-1 pn-1 + + a1 p qn-2 + a0 qn-1 . (13) Poniewa| NWD(p, q)=1, wic z (12) p dzieli a0 i z (13) q dzieli an Wniosek 19. Je[li wielomian W (x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, gdzie an = 0 i ai " Z, i = 0, . . . , n, ma miejsce zerowe x0 " Z, x0 jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0. RozkBad na czynniki wielomianu polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianw. Twierdzenie 20 (o postaci iloczynowej). Je|eli wielomian W (x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, gdzie an = 0 i ai " R, i = 0, . . . , n, ma n r|nych miejsc zerowych x1, x2, . . . , xn, to W (x) = an(x - x1)(x - x2) (x - xn). Twierdzenie 21 (o rozkBadzie wielomianu na czynniki). Ka|dy wielomian mo|na przedstawi w postaci iloczynu czynnikw co najwy|ej drugiego stopnia. Liczba x0 jest k-krotnym miejscem zerowym wielomianu W , je|eli ten wielomian jest podzielny przez (x - x0)k i nie jest podzielny przez (x - x0)k+1, k " N. Metody rozkBadania wielomianw na czynniki: " wyBczanie wsplnego czynnika przed nawias, " grupowanie wyrazw, " stosowanie wzorw skrconego mno|enia, " zastosowanie twierdzenia Bzouta. 12 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 4.2 Nierwno[ci wielomianowe. Nierwno[ci wielomianow nazywamy ka|d nierwno[ w postaci: P (x) > 0, P (x) 0, P (x) < 0 oraz P (x) 0, gdzie P jest wielomianem. 4.2.1 Rozwizywanie nierwno[ci wielomianowych. " przenosimy wszystko na jedn stron " rozkBadamy wielomian na czynniki " rozwizujemy otrzyman nierwno[ wielomianow bdc w postaci iloczynowej. PrzykBad 22. Rozwi|my nierwno[ (x - 3)3 (x + 2)2 (1 - x) (2 - x) 0. Wwczas x -2 1 2 3 Zatem x " (-", 1 *" 2, 3 . 13 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 5 Funkcje wymierne. Definicja 23. Funkcj wymiern nazywamy iloraz postaci P (x) w(x) = , (14) Q(x) gdzie P i Q s wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Je|eli wielomiany te s rzeczywiste, to mwimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Je[li stP < stQ (stopieD wielomianu P jest mniejszy ni| stopieD wielomianu Q), to mwimy, |e funkcja wymierna jest wBa[ciwa. W przeciwnym przypadku mwimy, |e funkcja wymierna jest niewBa[ciwa. Funkcja wymierna w jest okre[lona na zbiorze Dw = R \ {x : Q(x) = 0}. Funkcjami wymiernymi s na przykBad wyra|enia x2 x3 + 7x2 - 8 , . x + 1 x7 + 1 Pierwsze z tych wyra|eD jest funkcj wymiern niewBa[ciw, a drugie wyra|enie jest funkcj wymiern wBa[ciw. Twierdzenie 24. Ka|da funkcja wymierna niewBa[ciwa jest sum niezerowego wielomianu i funkcji wymiernej wBa[ciwej. P (x) Dowd. Niech w(x) = gdzie stP stQ. Niech S bdzie ilorazem, a Q reszt z dzielenia Q(x) P przez Q. Z Twierdzenia (o dzieleniu z reszt) mamy rwno[ P (x) = Q(x)S(x) + R(x), gdzie stR < stQ. Poniewa| stP stQ, wic S nie mo|e by wielomianem zerowym. Wobec tego mo|emy podzieli ostatni rwno[ stronami przez Q(x), otrzymujc |dany rozkBad wyj[ciowej funkcji na sum wielomianu i funkcji wymiernej wBa[ciwej: P (x) Q(x)S(x) + R(x) R(x) = = S(x) + . Q(x) Q(x) Q(x) R(x) Funkcja wymierna jest oczywi[cie wBa[ciwa, poniewa| stR < stQ. Q(x) Z powy|szego dowodu wynika, |e podany w twierdzeniu rozkBad mo|na zawsze znalez, wyko- nujc dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik (zwykBe dzielenie wielomianw z reszt). Czasami udaje si dokona rozkBadu przy u|yciu elementarnych przeksztaBceD, np.: x2 + 2x - 2 x2 + x + x + 1 - 3 x(x + 1) + (x + 1) - 3 3 = = = x + 1 - . x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 5.1 Funkcja homograficzna i jej wBasno[ci W[rd funkcji wymiernych wyr|nia si funkcj postaci: ax + b f(x) = , (15) cx + d 14 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA gdzie c = 0 oraz ad - cb = 0. d a Df = R \ - , f(x) " Rf = R \ . c c Funkcj f zdefiniowan wzorem (15) nazywamy funkcj homograficzn. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Y d c b X - a a y = c x = -d c b Je|eli a = 0, to miejscem zerowym funkcji homograficznej jest x = - . a Je|eli ad - bc > 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest rosnca w swojej dziedzinie. Je|eli ad - bc < 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest malejca w swojej dziedzinie. Je|eli a = 0, to funkcja homograficzna postaci (15) jest funkcj wymiern niewBa[ciw, wic z Twierdzenia 24 mamy ax + b a bc - ad f(x) = = + . cx + d c c(cx + d) ax + b Wwczas wykres funkcji f(x) = mo|na otrzyma przez przesunicie wykresu funkcji cx + d A bc - ad d a f(x) = , gdzie A = , o wektor - , . x c2 c c 5.2 UBamki proste Z Twierdzenia 24 wiemy, |e ka|d funkcj wymiern niewBa[ciw mo|na przedstawi w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej wBa[ciwej. Okazuje si, |e ka|d funkcj wymiern wBa[ciw mo|na z kolei przedstawi w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji wymiernych, zwanych uBamkami prostymi. Rzeczywiste uBamki proste dziel si na uBamki proste pierwszego rodzaju oraz uBamki proste drugiego rodzaju. 15 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA Definicja 25. Rzeczywistym uBamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcj wymier- n postaci A , (x - a)n gdzie A, a " R, a n " N. Definicja 26. Rzeczywistym uBamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcj wymiern postaci Ax + B , (x2 + px + q)n gdzie A, B, p, q " R, n " N i p2 - 4q < 0 (trjmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkBa- dalny). 5.3 RozkBad funkcji wymiernej na uBamki proste. P (x) Twierdzenie 27. Niech w(x) = bdzie niezerow rzeczywist funkcj wymiern wBa[ciw. Q(x) ZaB|my, |e mianownik Q ma nastpujcy rozkBad na rzeczywiste czynniki nierozkBadalne: l1 ls 1 r Q(x) = an(x - x1)k (x - xr)k x2 + p1x + q1 x2 + psx + qs . Wwczas w(x) jest sum n1 = k1+k2+. . .+kr rzeczywistych uBamkw prostych pierwszego rodzaju oraz n2 = l1 + l2 + + ls rzeczywistych uBamkw prostych drugiego rodzaju. W rozkBadzie tym ka|demu czynnikowi i (x - xi)k , i = 1, . . . , r odpowiada suma ki rzeczywistych uBamkw prostych postaci Ai1 Aik Aik 2 i + + + , i x - xi - xi)2 (x - xi)k (x natomiast ka|demu czynnikowi lj x2 + pjx + qj , j = 1, . . . , s odpowiada suma lj rzeczywistych uBamkw prostych drugiego rodzaju postaci Bj1x + Cj1 Bj2x + Cj2 Bjl x + Cjl j j + + + . j x2 + pjx + qj (x2 + pjx + qj)2 (x2 + pjx + qj)l tzn. A11 A1k Ar1 Ark 1 r w(x) = + + + + + + + 1 r x - x1 x - xr (x - x1)k (x - xr)k B11x + C11 B1l x + C1l Bs1x + Cs1 Bsl x + Csl 1 1 s s + + + + + + . 1 s x2 + p1x + q1 (x2 + p1x + q1)l x2 + psx + qs (x2 + psx + qs)l Powy|szy rozkBad jest jednoznaczny z dokBadno[ci do kolejno[ci skBadnikw. 16 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA Zauwa|my, |e mianowniki funkcji wymiernej zostaBy podane w postaci iloczynu czynnikw nie- rozkBadalnych. Je[li mianownik funkcji wymiernej podamy w postaci rozwinitej, np. x + 4 , x3 - x2 - 2x to musimy taki mianownik najpierw rozBo|y na czynniki: x + 4 , x(x + 1)(x - 2) a dopiero potem zastosowa twierdzenie o rozkBadzie na uBamki proste. PrzykBad 28. RozkBad funkcji wymiernej postaci 1 (x - 3)3(x + 2) na uBamki proste jest nastpujcy: 1 A B C D = + + + (x - 3)3(x + 2) x - 3 (x - 3)2 (x - 3)3 x + 2 Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwch dwumianw, z ktrych jeden wystpuje w trzeciej, a drugi w pierwszej potdze. Otrzymujemy trzy uBamki proste odpowiadajce dwumia- nowi x - 3 oraz jeden uBamek prosty odpowiadajcy dwumianowi x + 2. PrzykBad 29. RozkBad funkcji 1 x (x2 + x + 2)2 na uBamki proste jest nastpujcy: 1 A Bx + C Dx + E = + + x x2 + x + 2 x (x2 + x + 2)2 (x2 + x + 2)2 Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potgi trjmianu nierozkBadalnego. Otrzymujemy jeden uBamek prosty odpowiadajcy jednomianowi x oraz dwa uBamki proste odpowiadajce trjmianowi x2 + x + 2. 5.4 Rwnania i nierwno[ci wymierne. Rwnaniem wymiernym nazywamy rwnanie postaci: w(x) = v(x) gdzie w i v s funkcjami wymiernymi. Dziedzin tego rwnania jest cz[ wsplna dziedzin funkcji wymiernych w i v. 5.4.1 Sposoby rozwizywania rwnaD wymiernych. I sposb: (krtszy, ale oglnie nie mo|na stosowa przy nierwno[ciach) " rozkBadamy na czynniki wszystkie mianowniki " ustalamy dziedzin ( R \ {miejsca zerowe mianownikw}) 17 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA " obustronnie mno|ymy rwnanie przez wsplny mianownik " rozwizujemy otrzymane rwnanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe. " sprawdzamy, czy rozwizanie nale|y do dziedziny. PrzykBad 30. Rozwi|emy rwnanie 2 x + 1 x2 - = . (16) x + 1 1 - x x2 - 1 2 x + 1 x2 Wtedy - = , D = R \ {-1, 1}, x + 1 1 - x (x - 1)(x + 1) 2 x + 1 x2 - = (x - 1)(x + 1) x + 1 1 - x (x - 1)(x + 1) 2(x - 1) + (x + 1)2 = x2 ! 2x - 2 + x2 + 2x + 1 = x2 1 4x = 1 ! x = " D. 4 1 Std x = jest rozwizaniem rwnania (16). 4 II sposb: " rozkBadamy na czynniki wszystkie mianowniki " ustalamy dziedzin ( R \ {miejsca zerowe mianownikw}) " przenosimy wszystko na lew stron " ustalamy wsplny mianownik " rozszerzamy wszystko do wsplnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce uBamkowej " porwnujemy licznik do zera (uBamek = 0 wtedy, gdy licznik = 0) i rozwizujemy otrzy- mane rwnanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe " sprawdzamy, czy rozwizanie nale|y do dziedziny. PrzykBad 31. Rozwi|emy rwnanie 2x 4 + = 3. (17) 2 - x x Wtedy D = R \ {0, 2} i 2x x + 4 (2 - x) - 3x(2 - x) = 0 x(2 - x) 5x2 - 10x + 8 = 0 " < 0 Std brak rozwizaD rwnania (17) w zbiorze liczb rzeczywistych. 18 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA Uwaga 32. Je|eli rwnanie ma posta proporcji ( rwno[ dwch uBamkw ) To: iloczyn wyra- zw skrajnych jest rwny iloczynowi wyrazw [rodkowych " ustalamy dziedzin ( R \ {miejsca zerowe mianownikw}) " porwnujemy iloczyny wyrazw skrajnych i [rodkowych i rozwizujemy otrzymane rwnanie " sprawdzamy, czy rozwizanie nale|y do dziedziny. PrzykBad 33. Rozwi|emy rwnanie x 3x = . (18) x + 2 x - 3 Wtedy D = R \ {-2, 3}, x(x - 3) = 3x(x + 2); x2 3x = 3x2 + 6x; 2x2 + 9x = 0; 9 2x x + = 0; 2 x1 = 0 " D (" x2 = -4, 5 " D. Zatem rozwizaniem rwnania (18) s liczby 0 lub -4,5. 19 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA P (x) P (x) Q(x) Nierwno[ci wymiern nazywamy ka|d nierwno[ w postaci: > 0, 0, < 0 Q(x) Q(x) Q(x) P (x) oraz 0, gdzie P i Q s wielomianami. Q(x) 5.4.2 Sposoby rozwizywania nierwno[ci wymiernych. I sposb: " przenosimy wszystko na jedn stron " rozkBadamy na czynniki wszystkie mianowniki " ustalamy dziedzin ( R \ {miejsca zerowe mianownikw}) " ustalamy wsplny mianownik " rozszerzamy wszystko do wsplnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce uBamkowej " porzdkujemy licznik i rozkBadamy go na czynniki " iloraz (uBamek) zamieniamy na iloczyn (znak wyniku dla ilorazu i iloczynu podobnie usta- lamy) " rozwizujemy otrzyman nierwno[ wielomianow bdc ju| w postaci iloczynowej " ustalamy cz[ wspln rozwizania i dziedziny. PrzykBad 34. Rozwi|my nierwno[ 2x - 5 -1. (19) x2 - 6x + 8 2x - 5 1 (x2 - 6x + 8) Wtedy + 0 i (x - 2)(x - 4) (x - 2)(x - 4) D = R \ {2, 4}, 2x - 5 + x2 - 6x + 8 0; (x - 2)(x - 4) x2 - 4x + 3 0; (x - 2)(x - 4) (x - 1)(x - 3) 0; (x - 2)(x - 4) (x - 1)(x - 3)(x - 2)(x - 4) 0 '" x = {2, 4}. 1 2 3 4 X x " 1, 2) *" 3, 4). Zatem rozwizaniem nierwno[ci (19) jest zbir 1, 2) *" 3, 4). 20 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA II sposb: " rozkBadamy na czynniki wszystkie mianowniki " ustalamy dziedzin ( R \ {miejsca zerowe mianownikw}) " mno|ymy obustronnie nierwno[ przez kwadraty mianownikw liniowych lub przez inne wyra|enia, ktrych znak jest jednoznacznie okre[lony " rozwizujemy otrzyman nierwno[ wielomianow bdc ju| w postaci iloczynowej " ustalamy cz[ wspln rozwizania i dziedziny. PrzykBad 35. Rozwi|my nierwno[ 4 - x 2 - 1. (20) x2 x Wtedy D = R \ {0}, 4 - x 2 - - 1 0 / x2 x2 x 4 - x - 2x - x2 0; -x2 - 3x + 4 0; -(x - 1)(x + 4) 0. -4 0 1 X x " -1, 4) \ {0}. Zatem rozwizaniem nierwno[ci (20) jest zbir -1, 4) \ {0}. 21 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 6 Funkcje wykBadnicze i logarytmiczne. 6.1 Funkcje wykBadnicze oraz ich wBasno[ci. Funkcj wykBadnicz nazywamy funkcje f okre[lona wzorem f(x) = ax, (21) gdzie a " (0, 1) *" (1, +"). Df = R, f(x) " Rf = R+ = (0, +"). Dla a " (0, 1) funkcja wykBadnicza jest funkcj malejc, natomiast dla a " (1, +") jest funkcj rosnc. Y Y y = ax y = ax y = ax y = ax y = ax y = ax 0 < a < 1 a > 1 0 < a < 1 a > 1 0 < a < 1 a > 1 1 1 X X Wykres funkcji wykBadniczej nazywamy krzyw wykBadnicz. 1 1 x 1 x Poniewa| a-x = = , dla a < 0 i a = 1, wic krzywe wykBadnicze y = ax i y = s ax a a symetryczne wzgldem osi OY . 6.2 Rwnania i nierwno[ci wykBadnicze. Rwnaniem wykBadniczym (nierwno[ci wykBadnicz) nazywamy takie rwnanie (nierwno[), ktrego niewiadoma wystpuje tylko w wykBadniku potgi. Rwnaniem wykBadniczym jest na przykBad rwnanie typu: af(x) = ag(x), gdzie a " R \ {1} a f(x) i g(x) s dowolnymi funkcjami zmiennej rzeczywistej. 2 PrzykBady rwnaD wykBadniczych: 5x -1 = 25, 22x - 5 2x = 6, itp. 2 PrzykBady nierwno[ci wykBadniczych: 5x -1 < 25, 22x - 5 2x > 6, itp. 22 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA Schemat rozwizywania rwnaD wykBadniczych wyglda nastpujco: " ustalamy dziedzin " sprowadzamy rwnanie, aby miaBo takie same podstawy lub sprowadzamy je do rwnania kwadratowego albo do innego rwnania, tworzc przy tym odpowiednie zaBo|enia. Z rw- no[ci podstaw wynika rwno[ wykBadnikw " rozwizujemy rwnanie " sprawdzamy, czy rozwizania przeksztaBconych rwnaD speBniaj nasze zaBo|enie " podajemy odpowiedz W celu rozwizania nierwno[ci wykBadniczej nale|y: " ustali dziedzin " sprowadzi obie strony nierwno[ci do tych samych podstaw albo przeksztaBcamy do innej nierwno[ci, ktr potrafimy rozwiza " wykorzystujemy wBasno[ci funkcji wykBadniczej, przeksztaBcajc odpowiednio nierwno[: dla a > 1 an > am !! n > m an < am !! n < m analogicznie dla porwnaD   czy te|   ; dla 0 < a < 1 an > am !! n < m an < am !! n > m analogicznie dla porwnaD   czy te|   " rozwizujemy otrzyman nierwno[ i sprawdzamy, czy rozwizania nale| do dziedziny " udzielamy odpowiedzi 23 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA 6.3 Funkcje logarytmiczne oraz ich wBasno[ci. Definicja 36. Logarytmem liczby x > 0 przy podstawie a " (0, 1) *" (1, +") nazywamy wy- kBadnik potgi y, do ktrej nale|y podnie[ podstaw a, |eby otrzyma x. Mamy wic loga x = y ! ay = x dla x > 0 i a " (0, 1) *" (1, +"). Z definicji logarytmu wynikaj nastpujce wBasno[ci: loga a = 1, dla a " (0, 1) *" (1, +"). (22) loga 1 = 0, dla a " (0, 1) *" (1, +"). (23) Je|eli x > 0, y > 0 i a " (0, 1) *" (1, +"), to loga(x y) = loga x + loga y. (24) x loga = loga x - loga y. (25) y loga x =  loga x, dla  " R. (26) logb x loga x = , dla b " (0, 1) *" (1, +"). (27) logb a 1 loga x = , dla x " (0, 1) *" (1, +"). (28) logx a a = blogb a, dla a > 0, b " (0, 1) *" (1, +"). (29) Funkcj logarytmiczn nazywamy funkcje f okre[lona wzorem f(x) = loga x, gdzie a " (0, 1) *" (1, +"). (30) Df = R+ = (0, +"), f(x) " Rf = R. Funkcja logarytmiczna jest funkcj malejc dla a " (0, 1), natomiast dla a " (1, +") jest funkcj rosnc. Y Y y = loga x y = loga x y = loga x y = loga x y = loga x y = loga x a > 1 a > 1 a > 1 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 X X 1 1 Wykres funkcji wykBadniczej nazywamy krzyw logarytmiczn. Poniewa| loga x = - log 1 x, dla a < 0 i a = 1, wic krzywe logarytmiczne y = loga x i y = log 1 x a a s symetryczne wzgldem osi OX. 24 Budownictwo  studia stacjonarne sem I, 2014/2015 MATEMATYKA Uwaga 37. Funkcja logarytmiczna i funkcja wykBadnicza s funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Y Y y = ax y = ax y = ax y = loga x y = loga x y = loga x y = ax y = ax y = ax 0 < a < 1 a > 1 1 1 y = loga x y = loga x y = loga x X X 1 1 6.4 Rwnania i nierwno[ci logarytmiczne. Rwnaniem logarytmicznym (nierwno[ci logarytmiczn) nazywamy rwnanie (nierwno[), w ktrym niewiadoma wystpuje w wyra|eniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. PrzykBady rwnaD logarytmicznych: log5 (x2 - 1) = 25, log2 x - 5 log2 x = 6, itp. 2 PrzykBady nierwno[ci logarytmicznych: log5 (x2 - 1) < 25, log2 x - 5 log2 x > 0, itp. 2 Wyznaczajc rozwizania rwnania logarytmicznego (nierwno[ci logarytmicznej) powinno si: " ustali dziedzin " sprowadzi obie strony rwnania (nierwno[ci) do tych samych podstaw albo przeksztaBci do innego rwnania (innej nierwno[ci), ktre (ktr) potrafimy rozwiza " wykorzystujc wBasno[ci funkcji logarytmicznej przeksztaBci rwnanie (nierwno[) tzn: dla a > 1 loga n loga m !! n m loga n loga m !! n m dla 0 < a < 1 loga n loga m !! n m loga n loga m !! n m " rozwiza otrzymane rwnanie (otrzyman nierwno[) i sprawdzi, czy rozwizania nale- | do dziedziny " poda odpowiedz. 25

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
sfingolipid bud, funkcje
Nauczyciel przeglad historycznych funkcji(1)
glikolipid bud, funkcje
Geneza i funkcjonowanie mitu arkadyjskiego
MAT BUD 6
Fundacje i Stowarzyszenia zasady funkcjonowania i opodatkowania ebook
integracja funkcji
FUNKCJA CHŁODZENIE SILNIKA (FRIC) (ZESPOLONE Z KALKULATOREM
ciaglosc funkcji2
Mat Bud wyk
Znaczenie korytarzy ekologicznych dla funkcjonowania obszarów chronionych na przykładzie Gorców

więcej podobnych podstron