Seria zadan przedkolokwialnych. Oznaczenia symboli wystepujacych zaraz po tresci zadania: (-) oznacza zadanie nadzwyczaj proste () zadanie zwykle (+) zadanie troche fajniejsze od poprzedniego (*) moze wam sprawic klopoty (i pewnie sprawi) Wsk. - wskazowka Oznaczenia w tekscie (nie mam zadnego edytora poza notatnikiem, a jakos musze to zapisac) x \in X oznacza: x nalezy do X. X (suma) Y oznacza ... wiadomo co X (przeciecie) Y ... -X dopelnienie. czasami przez 0 oznacze zbior pusty (napisze wtedy) wtw - wtedy i tylko wtedy (rownowazne) Zad 1 (-) Obliczyc zbiory: {{3,{6}},2,pies,{22}} \ {22,{{3},6},8} ({1,2,{3},4,7} (przeciecie) {1,2,3,4,5}) (suma) {2,20} Wsk. najpierw wskazac elemenyt z poszczegolnych zbiorow, a nastepnie zobaczyc definicje roznicy, sumy i przeciecia. Zad 2 () Pokazac, ze zachodza rownosci zbiorow: a)() -(A (suma) B) = (-B) (przeciecie) (-A) b)(+) (B (przeciecie) (-((-A) (suma) B))) (przeciecie) (C (suma) D) = 0 gdzie 0 oznacza zbior pusty Wsk. Pokazywac to stopniowo. Mozna to zrobic dwoma metodami - albo pokazac, ze x nalezy do zbioru po jednej stronie wtw nalezy do zbioru po drugiej stronie, albo przy zastosowaniu jakiegos tam diagramu rysunkowego. Nalezy zobaczyc definicje rownosci dwoch zbiorow, zobaczyc definicje tego, ze element x nalezy do sumy dwoch zbiorow (to samo do przeciecia i dopelnienia), zobaczyc definicje zbioru pustego. Mozna stosowac prawa logiczne. Te prawa dowodzi sie sprawdzajac "podstawienia 0 i 1 za p i q". Zad 3 () Mamy relacje dwuargumentowe: OJCIEC, MATKA oraz relacje jednoargumentowa: MEZCZYZNA (x OJCIEC y -oznacza x jest ojcem y, itd.), relacje te sa okreslone na wszystkich ludziach, ktorzy kiedykolwiek zyli (do kwadratu dla relacji dwuargumentowych). a) () powiedziec czym jest (tak po ludzku) i uzasadnic: (OJCIEC (suma) MATKA) (OJCIEC (suma) MATKA)^(-1) (do minus pierwszej, lub inaczej relacja odwrotna) (OJCIEC (suma) MATKA) (zlozone) (OJCIEC (suma) MATKA) (OJCIEC (suma) MATKA) (zlozone) (OJCIEC (suma) MATKA)^(-1) b) () zdefiniowac relacje: -) dwuargumentowa: BRAT x BRAT y wtw jesli x jest bratem y czy ta relacje jest zwrotna, przechodnia, symetryczna? -) jednoargumentowa: BABCIA BABCIA x wtw jesli x jest czyjas babcia. c) () co sie stanie, jesli naszym swiatem (tym na czym okreslone sa relacje i po ktorym moga przebiegac x \in wszystko) beda jedynie zywi ludzie? Wsk. Relacja dwuargumentowa to zbior par, suma dwoch relacji jest suma tych zbiorow par. Zobaczyc definicje zlozenia relacji, relacji odwrotnej. Pamietajcie tez o popelnianym bledzie, w ktorym przyjmowaliscie, np. ze dziadek moze byc tylko ze strony ojca. Zad 4 (+) a) N={0,1,2,3,4,....} - liczby naturalne, < - relacja dwuargumentowa na N*N (iloczyn kartezjanski) (normalnie okreslona) () Zdefiniowac za jej pomoca relacje dwuargumentowa = (x=y wtw x jest rowny y) czy ta relacja jest zwrotna, przechodnia i symetryczna? (+) Zdefiniowac relacje jednoargumentowa NAJMN taka, ze NAJMN x wtw gdy x jest najmniejsza liczba naturalna (nie stosowac = i tak zwanych stalych: 0,1,2,3,..... nie moze byc zadnych konkretnych cyfr) (+) czym jest relacja < (zlozenie) < b)(+,*) N liczby naturalne, trojargumentowa + zdefiniowana nastepujaco: +(x,y,z) wtw gdy x+y=z. zdefiniowac przy jej pomocy relacje: (*) NAJMN (+) < Zad 5 () (st) - oznacza strzalke Niech: f:R (st) R f(x)=2x+1 g:R (st) R g(x)=x*x*x-x h:N (st) R h(x)=(0.5)x+1 Narysowac ich wykresy, obliczyc funkcje: f+g zdefiniowana (f+g)(x)=f(x)+g(x) f*g f (zlozone) g zdefiniowane (f (zlozone) g)(x)=f(g(x)) g (zlozone) f f (zlozone) (g (zlozone) h) f^(-1) f do minus pierwszej, odwrotna (f+f)^(-1) Jakie problemy wystapia jesli wezmiemy: h (zlozone) f niech funkcja j:N (st) N okreslona: j(x)=2x+3 czy istnieja funkcje z N w N okreslone: j-4, (0.5)*j Wsk. zobaczyc definicje funkcji, zlozenia funkcji, funkcji odwrotnej. Tego ponizej mozecie nie czytac, zobaczcie lepiej to co bylo na wykladzie o funkcji odwrotnej (nie potrafie tego wyjasnic bez rysunkow). Opowiem to w skrocie (jak zainstaluje sobie skaner, to dostaniecie pelna wersje): jesli mamy obliczyc funkcje odwrotna do f(x)=3x-7 to robimy tak: z powyzszego wzoru wiemy, ze x (ten po lewej stronie; z dziedziny) przechodzi na 3x-7. Czyli dla danego x, para (x,3x-7) nalezy do funkcji. Szukajac funkcji odwrotnej, chcemy zobaczyc co przeszlo na x po prawej stronie (troche niejasno napisalem) f(x)=y y=3x-7 (y+7)/3=x zamieniamy x z y (x+7)/3=y=f^(-1)(x) na element x w obrazie funkcji f, przeszedl element (x+7)/3. Milych snow. Mozecie przesylac pytania na moj adres, ale nie przesadzajcie z ich dlugoscia. Za duzo kaza mi sie uczyc i jestem troche zmeczony. Arek