54298

5. Ryzyko estymatora, estymator nieobciążony

1.    Chcemy znaleźć estymator wariancji 0(1-0) rozkładu dwupunktowego z parametrem 0 za pomocą próby ^-elementowej. Zaproponowano estymator T = X(1 — X). Sprawdź, że jest on obciążony i zaproponuj estymator nieobciążony.

2.    Zmienna X ma rozkład o gęstości

f_m(x) = x^r 0 < x < 1,    0 < m < 1.

Dla próby n-elementowej przyjęto, że X jest estymatorem parametru m. Czy jest to estymator nieobciążony? Jakie jest, ryzyko kwadratowe tego estymatora?

3.    Niech

gdzie S = Xj, będzie estymatorem funkcji <y(A) = e ^A opartym na próbie X\,.... X_n o rozkładzie Poissona V(\). Pokazać, że

(a)    g(X) jest estymatorem nieobciążonym,

(b)    jego ryzyko średniokwadratowe wynosi e^_2A(e^A^ⁿ — 1).

4. Niech A'i.....X„ będzie próbą o rozkładzie dwumianowym B(m, 0).

Pokazać, że

u _    •=^l

jest estymatorem nieobciążonym funkcji g(0) = 1 — 0^m. Znaleźć jego ryzyko średniokwadratowe.

5.    Niech X = (Xj,..., X_n) będzie próbą z rozkładu normalnego Af(/i. <r²). Dobrać stałą k tak. aby estymator

n-l

r(X) = fc^(.v_i+,-A'.)²

i=l

był nieobciążonym estymatorem parametru <r².

6.    Zmienne losowe X_ii...,X_n mają rozkład o tej samej wartości oczekiwanej EXi = p i wariancjach Var Xj = af. Dla jakich wartości

współczynników aj,____a_n estymator liniowy postaci T = a\Xi +... +

a_nX_r, jest nieobciążonym estymatorem parametru //. Jaka jest jego wariancja, jeśli zmienne sa niezależne?

1