60584

Zestaw 3

1.    Zł km lal. czy (Z. *). gdzie a*6 = a+ 6 + 2, jest gru|>ą abelową.

2.    W ciele liczb całkowitych modulo 11, tzn. w zbiorze

Z_u = {0.1.2, ...10}

z działaniami dodawania i mnożenia modulo 11. znaleźć elementy odwrotne względem mnożenia do wszystkich elementów różnych od zera.

W grupie (ZJ,.-) (ZJ, = Zu \ {0}) rozwiązać równanie

5x = 7 (mod 11).

3. Znaleźć a,b € R takie, by

—+ ^±i=2.

2-i    1 + i 4. Zilustrować na płaszczyźnie Gaussa zbiory:

(a)    A = {z € C : \z - 2i| < 1 A 3 < arg* < f } ,

(b)    B = [z € C : re(z²) = 2 A (im(z + »))² = l} .

(c)    C={z€C: \z — i| + |z + i| — 4}.

5.    Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

(a) -J + ^?,

6.    Wykonać działania:

(a) (l-O*.

7.    Obliczyć:

(a)    (b) ^27,    (c)

8.    Rozwiązać równania:

(b) iv/3 - 1,

(b) (1 + .V3)^,0°.

(d) y/ŚTW,

(c) 1 + cos 3 + »sin ^

(c)

20

(e) (^3-i)'

(a) z² + 4z + 5 = 0.

(d) «2⁸-(l+i)2⁴ + l =0,

(b) z² = 5 + 12i,

(e) z³ + Zz² + 3z = * — 1.

(c) z⁴ - 30z² + 289 = 0.

9. Wyrazić cos6o za pomocą sino oraz coso.

10.    Wykazać równość: |zi + z$ + |2j — z₂|² — 2 ^|zj|² + |s₂|²^ •

11.    Wykazać, żecosft+cosjy+cosjy+cos^y+cos^y = 5.

12.    Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt Zo = 1 — »V5- Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu wiedząc, że jego środkiem jest początek układu współrzędnych.

13.    Rozważmy wielomian

W (x) = x⁶ - 6x⁵ + 18x⁴ - 28x³ + 31x² - 22x + 14.

Wiadomo, że IV (1 — i) = IV (2 - iv/§) = 0. Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.