60786

Jerzy Marzec, Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych, paw. C pokój 307, UEK w Krakowie Przedmiot: Ekonometria II

Pisemne zadania domowe

Zad 1. Rozważamy następujący proces AR( 1):

e, =a + p e,__x +£,gdzie £(£)=0. £(£) = <7^,cov(£,ę_s)=0ci!a t *s,\p\<\.

Pokaż, że bezwarunkowe momenty - wartość oczekiwana i wariancja - wynoszą odpowiednio

E(e,)=-^— = p, V{e,)=-^dlaVt.

1 ~P    \~P'

Zad 2. W przypadku procesu AR( 1) omawianego w zadaniu 1) obliczyć kowariancję i współczynnik korelacji, tzn.:

cov(f,.f,)=£[fe-£(f,)) (£,-£(£,))] i corr{e,,£,)=    dlat^s.

<JV(£,)V(e_s)

Ile wynoszą te charakterystyki w przypadku, gdy p=0? Zad 3. Rozważamy model równań pozornie nicskorclowanych y, = X_ifi_i + £_i dla i = l.....m. gdzie

E(e,) = 0. £fc, ■*;,)={ ^a*’ [0 wpr

gdy i = j

przeciwnym przypadku

W szczególności przedmiotem zainteresowania jest model (m=2):*

f y*⁼ X\f$\+s_t \y_: = Xj,+e,'

Pokazać, że uogólniona metoda najmniejszych kwadratów (estymator Zellnera) jest równoważny zastosowaniu zwykłej MNK dla każdego równania osobno, gdy X\=Xz. Zad 4. Niech dany będzie model dwóch równań pozornie nieskorelowanych²

j.^Vfl ⁼ fi\ ■•*/! ⁺^ll

l-^v»2 ⁼ Pl '^Xi2

Wszystkie zmienne posiadają średnią z próby równą zero. Empiryczna macierz momentów mieszanych (drugiego rzędu) obliczona na podstawie 20 obserwacji ma postać:

	y, i	2	y,.	^X,
	20	6	4	3'
>’i2	6	10	3	6
	4	3	5	2
^Xi2	3	6	2	10

Macierz obok zawiera sumy iloczynów między parami zmiennych. Wskazówka: przy szacowaniu macierzy równoczesnych kowariancji

skorzystać z i' ■i_j = (y, -X,fr) (y, -Xfi,)= ?• Przyjąć, źc

Dla obu parametrów obliczyć oceny estymatora Zellnera (zadanie za podwójną liczbę punktów).

¹ Źródło: Grccnc W.H. 12003). Econometric Analysis (5^,h cditon). Macmillan Publishing Company. New York. ^: Ibidem.