60773

MNW

Jer/.y Mar/ec. Kałedra Ekonometrii i Badan Operacyjnych, p. 307 paw. A. UEK w Krakowie Przedmiot: Ekonometria II - przykładowe zadania.

Przykład 5)

Przedmiotem badania jest dwuczynnikowa funkcja produkcji Q — K^' • Zi^S‘ • e^' . Znane są oceny parametrów (P) i asymptotycznej macierzy kowariancji v(p) estymatora największej wiarygodności.

a)    Wyprowadzić formułę estymatora i przybliżonego średniego błędu szacunku w przypadku produkcyjności krańcowej względem kapitału (zał. K i L są ustalone).

b)    Przedstawić niezbędne wzory analogicznie jak w pkt a. gdy przedmiotem wnioskowania jest techniczna stopa substytucji pracy kapitałem.

Przykład 6)

Rozważamy dynamiczne równanie dla zagregowanej konsumpcji (C):²

InC, =a+pinK_/ + 7lnC,_, + £,,

gdzie Y, oznacza egzogeniczny dochód (PKB) w okresie /. parametr p zaś informuje o krótkookresowej skłonności do konsumpcji, a 0 < y< 1. Niech 0 = [a p y ]'. Znając oceny punktowe estymatora NW (0) i jego asymptotycznej macierzy kowariancji v(ó):

c)    wyprowadzić ocenę i przybliżony błąd szacunku tego estymatora w przypadku długookresowej skłonności do konsumpcji,

d)    przedstawić sposób weryfikacji hipotezy zakładającej, że długookresowa skłonność do konsumpcji wynosi 1.

Przykład 7)

Rozważamy próbę y pochodzącą z T-wielowymiarowego rozkładu normalnego o wektorze średnich p=[pi M: ••• Pt] i jednostkowej macierzy kowariancji. V(y)=I.

a)    Zbudować model regresji, który odpowiada powyższym założeniom.

b)    Skonstruować funkcję wiarygodności dla obserwacji yi.....y_T.

c)    Wyznaczyć - o ile jest spełniony warunek z pkt. c - estymator NW dla parametru p.

d)    Sprawdzić czy spełniony jest warunek wystarczający na istnienie estymatora NW.

e)    Podać asymptotyczny błąd szacunku estymatora NW dla parametru p.

Rozwiązania - MNW zadania

Zadanie I) b) 0^A=^ £,y,; e) V^A( 0^A)=0²/T, D( 0^A)=[0²/T]⁰⁵

Zadanie 2) b) -Z, (b + x,)~^l + Z, y, (b + x,T² = 0 d) W^b) = 1/[Z, (b + *)~²] D(b)= [V^A( b)f⁵

Zadanie 3) b) w = ^ Z, (y,)² d) V^A(w) = l/[^ -2 w²l D(b)= [V^A( b)]⁰*⁵. e) D(tał)= [ipf^w"¹.

Zadanie 4) b) -Z_t (>*, — l/(b + jr_r))*(b + x,)~² = 0 d) V^A(b) = l/[Z_t (b + .t,)^-4].

Zadanie 5) PKk = efekt kratkowy wzg. kapitału, a) wektor pochodnych = c(b) ={ PKk *[ 1/bi + (b|-l)/K]. b₂ PK_K/L PK_k}; b) R_LK. c(b) = { -bs/bi , I. 0}/(K/(L*bi)).

Zadanie 6) a) DługSkł_do_Kons = b/(l-g), a) wektor pochodnych = c(a,b,g)= { 0. l/( 1—g),

—b/( 1 —g) }, b) HO: p/( 1 — Y)= I, Inny sposób HO: (5 + y = 1, konkluzje dla obu podejść nie muszą być identyczne!

^: Ibidem.

2/2