55160

Podsumowanie

Istnieją dwa sposoby tworzenia funkcji specjalnych:

1.    za pomocą szeregów potęgowych f(x) = a₀ + a_]x+a₂x² + ...

(25)

gdzie współczynniki u, określają funkcję (regularną), a w otoczeniu punktu x=0 szukamy rozwiązania równania różniczkowego.

2.    za pomocą metody faktoryzacji

(26)

Tego typu operatory tworzą przestrzeń rozwiązali dla oscylatora kwantowego.

A+ (A_ A+ )i// = A+y = (A₊ A_ ) A+y

(27)

A₊ (A_A+ )i// = (E-1)(A+ił/) = A+ A_ ( A+t//)

(28)

Mając równanie A_A₊i// = (E-\)i// to mnożąc przez A* dostajemy:

(A₊A_)(A₊v/) = (E-\)\ip

(29)

(A₊Ą_ )(A+i//)= A_A₊ (A₊y/j+ 2(A+i//) = (E- \)A₊i//

(30)

(A_A₊)(A^) = (£-3)(A₊y/)

(31)

Up = (E-\)iy

(32)

Krok po kroku podwyższeniu ulega wartość E i w ten sposób otrzymujemy różne wartości parametrów. i// = (A_)"' if/_{) należy do przestrzeni fizycznej (poziomy energii oscylatora

co

harmonicznego) w tym sensie, że J i//²dx < <*>.

-<f>

Uwaga W ten sposób można wygenerować wielomiany Legendre’a i funkcje Bessela. Każda z tych funkcji specjalnych rozwiązuje pewne równania różniczkowe drugiego rzędu.

Rozwiązanie przybliżone. Metody numeryczne.

Wcześniej poznaliśmy sposób rozwiązania przybliżonego poprzez szeregi potęgowe. Pewne uogólnienie daje metoda Frobeniusa. Istnieje jednak jeszcze tzw. metoda kodów

numerycznych. Oznacza to, że jego podstawa jest możliwość zastępstwa pochodnej — przez

dx

różnicę f(n+\)-f(n):