672581051

0.2 Prawdopodobieństwo warunkowe

Istnieją, dwa sposoby rozumienia zdarzeń niezależnych: potoczne i statystyczne (matematyczne). Matematyczne pojęcie niezależności jest prostą regułą mnożenia.

Definicja 0.2.1 Zdarzenia A i B są. niezależne gdy P(A nB) = P(A)P(B).

Wniosek 0.2.1 1. Zdarzenia A i B o dodatnich prawdopodobieństwach, rozłączne nie są niezależne. 2. SI jest zdarzeniem niezależnym od każdego innego zdarzenia. 3. Zdarzenie 0 jest niezależne od każdego innego zdarzenia.

Ciąg zdarzeń A\,.... A_n jest niezależny parami, jeśli P(A_lnA,) = P(A)P(Aj) dla wszystkich i ^ j.

Ciąg zdarzeń Ai,..., A_n jest niezależny, jeśli P(A_h n - - • n A_ik) = P(A_h) • • • P(A_ik), dla wszystkich ii < ii < ■■■ < i*.

Przykład 0.2.1 (Rozkład wielomianowy). Przypuśćmy, że kostka do gry ma 1 na trzech ścianach, 2 na dwóch ścianach i 3 na jednej ścianie. Rzucamy taką kostką 10 razy. Wyliczamy prawdopodobieństwo uzyskania 5 razy 1, 3 razy 2 i 2 razy 3:

^(l/2)»(l/3)³(l/6)²

Ogólnie, wykonując n niezależnych prób o możliwych k wynikach, przy czym prawdopodobieństwo wyniku typu i (i = 1,..., k) wynosi odpowiednio pi, prawdopodobieństwo uzyskania ni wyników typu 1, ri2 wyników typu 2,..., n& wyników typu k (ni + ■ • ■ + n* = n) dane jest wzorem 0.2.1 Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja 0.2.2 Dla dowolnego zdarzenia A C f2 , takiego, że P(A) > 0 prawdopodobieństwem warunkowym przy warunku A nazywamy funkcję prawdopodobieństwa P(-\A) określoną na Q następującym wzorem

P(B\A) =

P(A n B) P(A)

dla zdarzeń B C SI.

Łatwo sprwadzić, że P(-|^4) ma wymagane własności funkcji prawdopodobieństwa: • 0 < P(B\A) < 1, dla każdego zdarzenia B C SI,

6