82161

słr 2

W1/2

Faktycznie, w tej metodzie, z góry można określić maksymalną liczbę iteracji potrzebną do uzyskania dokładności £. W każdym kroku zmniejszamy długość przedziału o połowę, zatem w k-tym kroku pierwiastek leży w przedziale o

długości ——— . Wystarczy więc rozwiązać względem k nierówność

Metoda bisekcji jest zbieżna liniowo (z wykładnikiem p = 1 i ze stałą C = 0.5).

Metoda siecznych

Opis metody

(a)    wybieramy dwa punkty startowe Xo i Xj z przedziału, w^r którym poszukujemy pierwiastka,

(b)    kolejne przybliżenia x_fc*_I , k = 1,2..... obliczamy ze wzoru

*k+i ⁸ *k - f(*)-

Ilustada działania metody siecznych. Uwaga. Poprowadzona przez punkty (a, fXa)) i (b, fl(b)) cięciwa ma równanie

y-f(a) =

Niezbędną liczbę iteracji potrzebną do osiągnięcia zamierzonej dokładności jest trudno przewidzieć z góry. Najczęściej stosowanymi, praktycznymi warunkami kończenia iteracji są

W    (²> \*k+\ -?«k| *e-|xk₊,|    (3) | f(>%*,) | «se

Można je stosować łącznie; zwykle łączy się (1) i (3) lub (2) i (3).

Metoda siecznych nie zawsze jest zbieżna. Jeżeli jednak

(1)    f jest funkcją klasy C ² ([a.b]) ,

(2)    f(a) f(b) < 0 ,

(3)    f' i f" nie zmieniają znaku w' [a.b], to przyjmując Xq i Xj takie, że

f (Xq) f "(xo) > 0 i f(x₁)f-(x,)>0

zapewniamy zbieżność metody.

Wtedy zbieżność do zera pojedynczego jest z wykładnikiem

(p = 1.62),

a więc jest to zbieżność ponadliniowa.