82322

Przykład 4.3 Y lu fl + -)

n=i ^{v n/}

x_n = in(n -f-1) — lun. więc S„ = ln(n + 1) lim S_n = oo, a wice, szereg 53 lu (l + f) jest rozbieżny.

M-*0©    ,, i \    " /

Uwaga 4.1 Niech p będzie dowolną liczbą naturalną. Jeśli n > p. lo możemy napisać

u    P    n

£» =    + Y, *i

T=1    i=i    i'=p+i

Pierwsza suma po prawej stronic jest elementem niezależnym od n. Ciąg sum częściowych S_n jest. więc zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest ciąg sum

T_n = Y ³"i •

i=p-l

Powyższą własność oznacza, że zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby początkowych wyrazów. Sama wartość sumy (o ile szereg jest. zbieżny) jednak zależy od wszystkich wyrazów.

Twierdzenie 4.1 (Warunek konieczny zbieżności szeregów)

X

Jeśli szereg Y jest zbieżny, lo lim x„ = 0.

n=l

Dowód: Ciąg sum częściowych {5_n} naszego szeregu jest zbieżny do granicy S. a więc również lim .S’_n_i = S (dla ciągu S_n-1 jest n ^2). Ponieważ x„ = S_n — S_n-i.

Tl—rOC

zatem

lim x_n = lim (S_n — S_n-1) = lim S_n — lim *9„_i = S — S = 0

n—tyc    n—*oc    n-*oc>    n-t-jc

Uwaga 4.2 Warunek lim x_n = 0 nie jest wystarczający dla zbieżności szeregu.

ti >nt

Twierdzenia Ą. I możemy używać do uzasadnienia, żc jakiś szereg jest rozbieżny -kiedy warunek nie jest spełniony (przykład 4-4) ■ Jeśli natomiast lim x_n = 0 .to

W >Ot

nie wynika stąd zbieżność szeregu - może on być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny (przykłady: 4 %, 4-3)

Przykład 4.4 Szeregi 53(—1)", Y^,l'¹ » 13 (l + nie spełniają warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc są rozbieżne.

12