87951

26. Dynamiczne równania ruchy punktu materiabrego

Dynamiczne tównania mchy w postaci wektorowej

F_x =mx. F_y =my.

F_t = mz

RówiMnia ruchu w natiBabiym układnie wtpóbzędnych

dv    V²

m — =    Fr,m —    = Fn,    ma.    =    F.

dr    r    ^b    *

przyłożone) siły i zachodzi w kminku działającej siły.

• Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało;

1.1 Siła be/włackwsti /osudu dWIamberta

/.mada d Alrinberin stosowana jest podczas wyprowadzania modelu indlcaut) łzjucłu (a dokładniej dynamiki) kołowego tobola mobilue&o Zasada ta stwierdza. że: ciało spoczywa w układzie nieinercjałnym gdy suma wszystkich sił działających, łącznie z siłą bezwładności, równa się zero.

Siły F nie wykonują pracy tu dopuszczalnych przesunięciach: Fdq - a gdzie: dq = qdt

bitymi słowy, jeśli obiekt (robot) porusza się w dozwolonym kierunku, to siła ta przestaje oddziaływać na niego Sytuacja ta ma miejsce w przypadku rabata holmmmcaiego. gdzie:

F{q) = 0. <j - ograniczona przestrzeń stanu

16.    /osada pędu masy i impulsu siły punktu materialnego:

Punkt materialny o masie m ponisza się pod wpływem sil FI. F2 zgodnie z równaniem dynamiki możemy zapisać ma = £¹ wektor p=mv nazywamy pedem punktu materialnego w układzie kartezjańskim r r r r p = mxi + my j +mzk

Impuls siły działającej na pimkt materialny jest równy przyrostowi elementarnemu tego punktu Przyrost piki masy poniszającego się punktu jest równy impulsowi całkowitemu sil

17.    Zasada krętu punktu materialnego:

Krętem poniszającego się pimkiu maletiałnego względem oblanego bieguna O nazywamy weki ca równy iloczynowi wekiorowemy promienia r przez ped p poniszającego się punktu Kier jest więc momentem pędu względem oblanego bieguna IR Dynamit me równtmia rut hu punktu materialnego:

Równanie F = nta przedstawiając związek miedzy masa, przyspieszeniem i siła nazywamy dynamicznym równaniem mdiu Można je zasilić trzema równaniami analitycznymi F. -mx F,-my

19.    ( alkowunie dynumit tmrh równań rut hu pnyklady:

Rozwiązywanie równań dynamicznych sprowadza się do dwóch zagatfciien 1 wyznaczanie siły F pod której wpływem pousza się punki maleiiabiy 2 Wyznaczanie przyspieszenie . prędkosd i leni poruszającego się punktu

20.    Drgania swobodne i tłumione punktu malrrialnego:

Drgania swobodne — drgania

ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy im ciało nie działają żadne siły, poza określającymi położenie równowagi i dążącymi do przywrócenia równowagi Amplituda drgań zależy od wiele ości początkowego wychylenia (energii polencjabiej) oraz jego prędkości początkowej (energii kinetycznej).

Drgania tłumione występują wtedy, gdy w układzie działają siły opani ośrodka

22. Drgania wymuszone punktu materialnego Rezonais mech •■liczny.

Drgania wymuszone to zjawisko, w któtym biorą udział dwie siły F=-cx i S-Hanpi S nazywamy siłą wymuszającą natooiMst F jest stale zwrócona do śtodka drgań, pi - faza siły wymuszającej

To zjawisko polegające na przepływie energii pomiędzy kilkoma (najczęściej dwoma) układami ckgającymi Warunkami koniecznymi do zajścia rezonansu mechanicznego są:

•    jednakowa częstotliwość di gań własnych (lid) swobodnych) układów

*    istnienie mechanicznego połączenia między układami

Przykładem ikłacki. w którym występuje rezonans mechaniczny są Wdlhłdk sprcęzaic

Zjawisko to zachodzi, gdy częstotliwość drgań wymuszających zbliża się do częstości dtgań własnych Gdy siła wymuszająca działa im drgające ciało z odpowiednią częstotliwością to amplituda drgań może osiągnąć bardzo dużą wielkość nawet przy niewielkiej sile wymuszającej

Ze zjawiskiem rezonansu spotykamy się jadąc np autobusem Przy pewnej prędkości oblotów silnika szyby lub niektóte części karoserii zarzynają silnie tkgać

23.    Rur li punktu materialnego po gładkiej równi pochylnej.

Ruch ptmktu materialnego po gładkiej tówni pochyłej poniszającej się mc hem postępowym z pizyspieszeniem Au

Ruch opisujemy równaniem

mx = mg sin a — D_u cos a

de

D_u = ma_u

Dla a_u <JglQT cmIo będzie poruszało się w dół. a przy równym w spoczynku lub mchem jednostajnym prostoimiowym (względem mchomej płaszczyzny)

24.    ruch w ahadla malemalynnego.

Punkt tnm-i labiy zawieszons wpohi ciężkości im uietozciągllwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego Jest stałość okresu drgań dla niewieluch wychyleń wahadła

Ogólne rówTMtiie ruchu waliadla matematycznego

	d9
	+ 7— - mo/anfl = Acowoi ii
Gdzie:
•	1 • długość lik t
•	g - przyspieszenie ziemskie.
•	m - masa ciała.
•	9 - kąt wektora wodzącego
	ciała z picnem
•	A - amplituda siły
	wymuszającej
•	wt> - częstość siły
	wymuszającej
•	Y - współczytunk opatu

ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu dnuri tłumionych o sile niepiapotcjanaktej do wychylenia, czyli drgań niehai monicznych Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A 0.

Równanie stycznej i normalnej do toru:

ma, = —mg sin (p . ma_n = —mgcos<p+R

25. Zderzenie proste i ukośne ciał.

27./.<ts<id<i pędu masy i impulsu siły dla układu puuklii malrrialnego.

Pęd ptmkhi malrrialnrgo jest wrktoirm stałym jeżeb suma geomeoycztM sd działających na prątki jest tówna zem.

Fdt =d (mv) gdzie _

p

Impuls elementarny siły działającej na ptmkt materialny jest równy przyrostowi elementarnemu pędu tego ptmktu

Fdt = d n

12 ■*

Jf = (mv₂ -my,)

rl

28.    Kręt układu punktu materialnego.

Krętem poniszającego się ptmkni materialnego względem obranego biegima 0 nazywamy wektor róssrny iloczynowi wektorowemu promienia r przez pęd p poruszającego się puiditu Kręt jesr więc momentem pędu (momentem ilości ruchu) względem obt Aiego biegima

K° = mom₀p = r * mv

Pochodna wektora krętu względem czasu jesr równa momętowi głównemu wszystkich sił działających na daiy ptmkt materialny

29.    rudi układu o zmieiurej masie

Jako podstawę przyjmujemy tu 2 zasadę dynamiki /Newtona dla układu materialnego- zasadę pędu

d(mv) d    c.

-— = — > mv. = F

dt dtfś

Zakładając, że od układu odrywa się z Prędkością Vb masa dm określimy elementarną zmianę wektora pędu układu

Przy czym mvs- wektor pędu układu przed odetwamem się masy dm.

F, = BIZ