89743

Rozkład Poissona:

Jeśli rozpatrujemy przedział czasu dt w którym prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest proporcjonalne do dt otrzymamy następujący wzór na prawdopodobieństwo:

P(dt) = ndt

Zakładamy, że w jednym przedziale dt może się wydarzyć tylko jedno zdarzenie, a wszystkie zdarzenia są niezależne. Zatem prawdopodobieństwo negatywnego wyniku w czasie t+dt wynosi (zdarzenia nie mogą się odejmować i są statystycznie niezależne):

P_ (t + dt) = P_ (f)(l- ndt)

Z drugiej strony, ,po rozwinięciu w szereg otrzymamy:

p_ (t+dt) = P. (t)+^dt

Zatem:

t+p.= o

Przy warunku P_(0) = 0 otrzymujemy:

P_=e"^nf

Powtarzamy rozumowanie, gdy ilość zaistniałych zdarzeń jest większa od 1 (wynosi k)

p_k (t + dt) = p_k (t)P₀ (dt)+... + p₀ (t)P_k (dt)

Po zaniedbaniu P_k(dt) otrzymamy:

P_k(t+dt)=P_k(t)P₀(dt)+P_k.₁(t)P₁(dt)

Czyli:

P_k(t + dt) - P_k(t)(l-ndO+P^ndt

Podobnie jak we wcześniejszy:!! przypadkach, zachodzi druga zależność:

p_k(t+dt) = p_k(t)+%dt

Po porównaniu powyższych wzorów otrzymamy:

£+nP_k = niV, k = 1,2,...

Czego rozwiązaniem jest właśnie rozkład Poissona, czyli:

n _ («0^fc