95688

Uwaga Przypominamy, że z rozwiązania ogólnego przez odpowiedni dobór stałych C|, C₂..... C„ można otrzymać

rozwiązanie każdego zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego będziemy oznaczali symbolem yąowj-

Fakt 2.2.6 (o obniżaniu rzędu równania liniowego jednorodnego)

Niech <p(i) będzie różnym od zera rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu n. Wtedy przez podstawienie

y= $*0j zdt

równanie to sprowadza się do równania liniowego jednorodnego rzędu n - 1 (względem nowej zmiennej z).

Uwaga Jeżeli znam)' jedno rozwiązanie równania liniowego jednorodnego rzędu drugiego, to znalezienie rozwiązania ogólnego tego równania sprowadza się do rozwiązania, otrzymanego przez podstawienie, równania liniowego jednorodnego rzędu pierwszego.

2.3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH Def. 2.3.1 (równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach)

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu n o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci (LS.)    y'^nl + p, y'-¹’ + p₂ y"-³¹ +... + p,m /+ p. y = 0.

gdzie p,. p>.....p„ e R.

Uwaga Każde rozwiązanie równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach (LS„) jest określone na R Pizypominamy, że zgodnie z poprzednią umową równanie różniczkowe jednorodne rzędu drugiego o stałych wrspółczyunikach ma postać

<LS₂)    y"+py’+qy = 0.

Def. 2.3.2 (wielomian i równanie charakterystyczne)

Równanie postaci

A" + PjA"'¹ + p₂A""² +...+ p_n__l^+ p_n = 0

nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach (LS„). Natomiast wielomian

w(A) = A" + p,f-‘ + p./T³ +...+ p„_,A + p„

nazywamy wiclomianan charakterystycznym tego równania.

Fakt 2.3.3 (o postaci układu fundamentalnego równania (I.S_n>)

Niech A,,    .... A. będą rzeczywistymi pierwiastkami o krotnościach odpowiednio k|,    .... k i niech

=<*“>/*i.....= «■“Pi ‘Pi    będą

zespolonymi pierwiastkami o krotnościach odpowiednio I,.....l_m wielomianu charakterystycznego w(X) równania liniowego o

stałych w^ółczynnikach (LS„). przy czym k|+...+ k+2(l|+...+ l„) = n. Wtedy układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:

	e*\e*'
e^a'^1 cos px\	J te ^0,1 cos px t	Jt^l,"^le^ał cos/?,t
e^a'' sin pxt	|te^a'' sin/?,t	Lt^l,”^łe^<ar,‘ sin px\
e""' cos Pj	fte"-' cos Pj	cos/?mt
^e*^J sin pj	{te“^J sin pm\	’ [tk-te*-' sin pm\_

Uwaga. W tym zestawieniu:

1.    pierwiastkowi rzeczy wistemu jednokrotnemu A odpowiada funkcja e* ;

2.    pierwiastkowi rzeczywistemu k-krolnemu Podpowiada k funkcji C* ,te ,...,t^k 'c'⁴ :

3. parze jednokrotnych sprzężonych ze sobą pierwiastków zespolonych A = CC-1- i/?, A = CC—ifi odpowiada para funkcji