3784494695

Niech oi będzie okręgiem wpisanym w trójkąt DEF, zaś 02 okręgiem wpisanym w trójkąt ABC (rys. 2). Punkt D jest środkiem jednokładności j\ o skali dodatniej, przekształcającej okrąg 01 na o a] punkt A jest środkiem jednokładności j 2 o skali dodatniej, przekształcającej okrąg o a na o 2. Zatem jednokładność j o skali dodatniej, przekształcająca okrąg 01 na 02, jest złożeniem jednokładności j\ i j'2 — jej środek leży więc na prostej AD.

Analogicznie dowodzimy, że środek jednokładności j leży na prostych BE i CF.

Wniosek: proste AZ), BE, CF mają punkt wspólny, będący środkiem jednokładności okręgów 01 i 02.

Uwaga

Prawdziwe jest twierdzenie odwrotne do tego, z którego korzystaliśmy na początku powyższego rozwiązania, a mianowicie: jeśli w czworokąt AFDE można wpisać okrąg, to okręgi wpisane w trójkąty AFE oraz DEF są styczne. Nietrudny dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

Sposób II

Ponieważ okrąg wpisany w trójkąt DEF jest styczny do okręgów wpisanych w trójkąty AEF, BFD, CDE, więc w czworokąty AFDE, BDEF, CEFD można wpisać okręgi (zob. początek sposobu I). Oznaczmy okręgi wpisane w wyżej wymienione czworokąty odpowiednio przez o a, ob, oq.

Wykażemy, że trójkąty ABC oraz DEF mają oś perspektywiczną (p. Dodatek, „Twierdzenie Desarguesa”, str. 117). Wówczas na mocy twierdzenia Desarguesa, trójkąty te mają środek perspektywiczny. To oznacza, że odcinki AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.

Pozostało więc udowodnić, że trójkąty ABC, DEF mają oś perspektywiczną. W tym celu rozpatrzymy trzy przypadki.

(a) Załóżmy najpierw, że żadna z par {AB,DE), (BC,EF), (CA,FD) nie tworzy pary boków równoległych, tzn. AB^DE, BCj/(EF, CAjftFD. Oznaczmy symbolem kf]£ punkt przecięcia prostych k oraz £. Przyjmijmy: X — BAnDE, Y = BCnEF, Z = CAr\FD. Ponieważ okręgi o a, ob są styczne do prostych AB i DE, więc punkt X jest środkiem jednokładności j 1 o skali dodatniej, przekształcającej okrąg o a na okrąg ob■ Analogicznie,

42