3784494696

punkt Y jest środkiem jednokładności j‘2 o skali dodatniej, która przekształca okrąg ob na okrąg oc■ Zatem złożenie j2°ji jest jednokładnością, której środek leży na prostej XY. Z drugiej strony jednokładność j2°ji ma skalę dodatnią i przeprowadza okrąg o a na okrąg oc• Środkiem jej jest więc punkt Z. Wykazaliśmy tym samym, że punkty X, Y, Z są współliniowe. Zatem trójkąty ABC i DEF mają oś perspektywiczną.

(b)    Załóżmy z kolei, że dokładnie jedna spośród par {AB,DE), (BC,EF), (<CA,FD) jest parą prostych równoległych. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że CA || FD, oraz oznaczyć X = BAnDE, Y = BCC\EF. Rozumując tak samo jak w przypadku (a) widzimy, że punkt X jest środkiem jednokładności j i o skali dodatniej, przekształcającej okrąg o a na okrąg 05, zaś punkt Y jest środkiem jednokładności J2 o skali dodatniej, która przekształca okrąg ob na okrąg oc■ Ponieważ promienie okręgów o a i oc są jednakowe, więc złożenie j2°ji jest przesunięciem. Wektor tego przesunięcia jest równoległy do prostej XY jak również do prostej łączącej środki okręgów o a i oc-Proste XY, AB, CD są więc równoległe, co w tym przypadku oznacza, że trójkąty ABC i DEF mają oś perspektywiczną.

(c)    Pozostał do rozpatrzenia przypadek, w którym co najmniej dwie pary spośród {AB,DE), {BC,EF), {CA,FD) są parami boków równoległych. Bez straty ogólności przyjmijmy, że tymi dwiema parami są {BC,EF) i {CA,FD). Wówczas na mocy twierdzenia Talesa

BD CE AF DC ~ EA~~FB’

skąd wynika, że również AB || DE. Zatem, zgodnie z przyjętą konwencją, również w tym przypadku trójkąty ABC i DEF mają oś perspektywiczną.

* * *

W dwóch kolejnych sposobach skorzystamy z następującego lematu.

Lemat

Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC (rys. 3); okrąg ten jest styczny do boku AB w punkcie K. Wówczas

AC AK BC ' BK

c

(1)

Dowód

Oznaczmy:

a = $CAI = $KAI, 0=$CBI=$KBI.

Równość (1) przepisujemy w następującej, równoważnej postaci

AK AC _ BK Al

‘ai‘bc~~bT"bI'

43