3826200337

©msg

Opracowanie wyników pomiarów - oszacowanie niepewności pomiaru

str. 3

A. Metoda typu A oszacowania niepewności standardowej pomiaru

W metodzie typu A niepewność pomiaru wyznaczana jest w oparciu o analizę statystyczną serii powtarzalnych obserwacji, o ile rozrzut wartości pomiarowych jest większy od rozdzielczości samego procesu pomiaru. Zakłada się przy tym, że wyniki obserwacji reprezentują wartości zmiennej losowej. Poniżej przykłady zastosowania metody typu A.

Uproszczone symbole dla różnych operac	i sumowania, wykorzystywane w dalszych formulach
Zx^2 = £f=1 x? Ix = £"=i xt	£y^2 = I?=1%^2 | 2y = Z?=iy« £*y = ZŁi*ryi

A.l Wielokrotne obserwacje tej samej wielkości mierzonej

Dysponując serią n pomiarów {**}, wynik x pomiaru (estymatę wartości wyjściowej) obliczamy jako wartość średnią wyników obserwacji x, natomiast niepewność standardową określamy jako równą estymatcie Sn odchylenia standardowego średniej - liczba stopni swobody v = n — 1. (Przykład E.l)

Wynik pomiaru - wartość średnia	Estymata odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru		Niepewność standardowa	Niepewność rozszerzona
Xx X = X =- n		n lx^2- (Ix)^2n • (n - 1)	SXl u(x) = Sx = -j= \Jn	U(x) = kp • u(x)

A.2 Regresja liniowa y = a ■ x (wymuszona wartość 6 = 0)

Dla serii n pomiarów y_f} obliczamy metodą najmniejszych kwadratów parametr a dopasowania prostej y = a ■ x (wymuszony parametr 6 = 0 prostej), współczynnik korelacji r oraz niepewność standardową jako równą estymacie S_a odchylenia standardowego - liczba stopni swobody v = n — 1. (Przykład E.2)

Współczynnik kierunkowy	Współczynik korelacji	Niepewność standardowa		Niepewność rozszerzona
lis II	Z xy ^r -JSiJŹyi	u (a) = Sa = — •	1 — r^2n — 2	U {a) = kp ■ u(a)

A 3 Regresja liniowa y = a- x + 6

Dla serii rt pomiarów yj obliczamy metodą najmniejszych kwadratów parametry a,b dopasowania prostej y = a ■ x + 6, współczynnik korelacji r zmiennych x, y oraz niepewności standardowe jako równe estymatom S_a,S_b odchyleń standardowych - liczba stopni swobody v = n — 2 .

Współczynniki dopasowania prostej					Współczynnik korelacji zmiennych x, y
n ■ Zxy - Ix ■	Zy	Zy — a ■ Ix		Sa Zx	n ■ Zxy — Zx • Zy
n•Ix^2 — (Ix)^2			n	'^J° ~ n	Vn • Zx^2 - (Zx)^2 ■ -Jn ■ Zy^2 - (Zy)^2
Niepewności standardowe					Współczynnik korelacji parametrów a i b
a “W = = - •	1 -r^2n —2		Zx^2 u(6) = 5b=5a- — N		r(a,b) ~ * ■l^SJ’ u(a))- , ^&u(6)

A.4	»Vspółczynniki rozszerzenia kp dla różnych ilości v stopni swobody oraz poziomu ufności p = 95,45%
V	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	50	00
kp	13,97	4,53	3,31	2,87	2,65	2,52	2,43	2,37	2,32	2,28	2,13	2,05	2,00

Dysponując wynikiem pomiaru x (estymatą wartości wyjściowej) oraz odpowiadającą jej niepewnością standardową u(x) możemy za pomocą niepewności rozszerzonej U(x) = k_p ■ u(x) oszacować przedział wartości, które z zadanym prawdopodobieństwem (poziom ufności p) można przypisać wielkości mierzonej: x — U(x) < X < x + U(x) , albo ujmując to inaczej: przedział wartości, w którym z przewidywanym prawdopodobieństwem p znajduje się hipotetyczna (rzeczywista) wartość wielkości mierzonej. Jeżeli można uznać oszacowanie niepewności standardowej u(x) za wystarczająco wiarygodne (rozkład normalny lub duża liczba stopni swobody), to przy obliczaniu niepewności rozszerzonej U(x) = k_p ■ u(x) w metodzie typu A zalecane jest stosowanie standardowego współczynnika rozszerzenia k_p = 2. by tak oszacowana niepewność pomiaru odpowiadała poziomowi ufności p = 95%.