3826200339

© msg

Opracowanie wyników pomiarów - oszacowanie niepewności pomiaru

str. 5

C. Złożona niepewność standardowa pomiaru

Częstą jest sytuacja, kiedy na wartość wyniku końcowego y pomiaru składają się wyniki wielu cząstkowych pomiarów różnych wielkości (czasem tych samych), które wykorzystane są w formule określającej rezultat końcowy:

y=f(*i.*2. ■■■*»)

gdzie zbiór N wartości X\,x₂,... x_N reprezentuje wyniki pomiarów oraz inne wielkości niezbędne do wyznaczenia wartości y wielkości mierzonej. Formuła powyższa odzwierciedlać może nie tylko prawa opisujące zjawisko, w obrębie którego dokonujemy obserwacji wielkości go charakteryzujących, ale również samą procedurę pomiaru.

| C.l Oszacowanie złożonej niepewności standardowej u_c(y) dla wielkości, które nie są skorelowane    |

Zakładamy, że z każdą wartością x_t, która może mieć wpływ na niepewność standardową u_c(y) wyniku pomiaru y, stowarzyszona jest niepewność standardowa u(x_t).

Jeżeli możemy przyjąć, że mierzone wielkości reprezentowane wartościami x₁,x₂, —x_N są niezależne (nie są skorelowane), to do obliczenia niepewności standardowej u_c(y) wyniku pomiaru y wykorzystujemy przybliżoną* formułę:

U_c(y)=    • u² O,) , gdzie    ^{Ci =} d7_i ■

Współczynniki q reprezentują wartości pochodnych cząstkowych funkcji f(x₁,x₂, —x_N) traktowanej jako funkcja zależna od zmiennych x₁,x₂,...x_N , natomiast u(Xj) są niepewnościami standardowymi poszczególnych wyników pomiarów x_t, niezależnie od tego, którą metodą oszacowane: metodą A lub B. (Przykłady E.5 i E.7)

Złożoną niepewność standardową można oszacować numerycznie - w tym celu zastąpić należy wartości c(U.(x{) wartościami Zi = -{/[*!, ...,X| + u(x_t).....x_N] - f[x_lt...,x_t -u(x_l),...,x_N]} .

(*) Silnie nieliniowa funkcja/oraz przypadek, kiedy nie można zaniedbać korelacji opisane są w dodatku D.2.

C.2 Niepewności typu A oraz B przy wielokrotnym pomiarze tej samej wielkości
Dysponujemy wieloma wartościami wyniku obserwacji tej samej wielkości, wykazującymi znaczący rozrzut, pozwalającymi na oszacowanie niepewności standardowej typu A. Ponadto, nie jest zaniedby walna niepewność standardowa oszacowana metodą typu B (z wykluczeniem B.l). Wynikiem x pomiaru jest wartość średnia (jak w A.l), natomiast niepewność standardową obliczamy jako niepewność złożoną (E.6):	ucM = J	u-l(x) + u|(x)

C.3 Niepewność rozszerzona dla złożonej niepew ności standardowej: U(y) = k_p ■ u_c(y)

Standardowo zalecany współczynnik rozszerzenia k_p = 2 , co jest dobrym przybliżeniem gwarantującym poziom ufności p = 95% przy ilości elementów składowych N > 3 oraz przy założeniu, że złożona niepewność standardowa u_c(y) nie jest zdominowana przez składnik typu A otrzymany przy znacząco małej liczbie stopni swobody.

Jeśli nie jest uzasadnione zastosowanie wartości zalecanej współczynnika rozszerzenia, to można się posłużyć wartością współczynnika rozszerzenia k_p(y_elf) odczytaną z tablic (A.4 lub D. 1) dla efektywnej ilości stopni swobody v_eff obliczonej dla niepewności złożonej, z wykorzystaniem wzoru Welch-Satterthwaite’a dla wielkości nieskorelowanych:

(*) Dla niepewności oszacowanych metodą B przyjmujemy, że odpowiednie V; —> co lub 1/Vj —»0,

co jest równoważne przyjęciu =100% wiarygodności oszacowania niepewności typu B (zgodnie z B.l, B.2). Dla mniej wiarygodnego oszacowania 1 —    < 100% można w przybliżeniu przyjąć v_iB = ^ • [~~y]

(**) Otrzymaną ze wzoru wartość v_e(f zaokrągla się do najbliższej mniejszej liczby całkowitej.

C.4 Średnia ważona - pomiary x, tej samej wielkości z różniącymi się niepewnościami standardowymi a(x,j
Wagi przypisane wynikom różnych pomiarów -tym większe, im mniejsza wartość niepewności	Wynik pomiaru obliczony jako średnia ważona (E.8)	Niepewność standardowa*
	- 52,1 Wi X, X = Xw = —-	rsr* i

(*) Inny wybór wag wymaga zastosowania ponownie wzoru (C.l) dla obliczenia złożonej niepewności standardowej.