5027720051

Lista 9 - Twierdzenie Lagrange’a

1.    Przedstaw w postaci sumy czterech kwadratów liczb naturalnych liczby: a) 19; b) 21; c) 399; d) 399399.

2.    * Nie wykonując pełnych rachunków sprawdź, że

70² = l² + 2² + ... + 24².

3.    Pokaż, że nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów liczby postaci 8k 4- 7;

4.    Przedstaw liczbę 454 w postaci sumy ośmiu sześcianów. Przypuszcza się, że każdą większą od niej można przedstawić w postaci 7 sześcianów.

5.    Zgodnie z twierdzeniem Waringa-Hilberta dla każdej liczby naturalnej k istnieje liczba g(k) taka, że dowolna liczba naturalna da się przedstawić w postaci g(k) k-tych potęg. Pokaż, że:

a)    g{2) = 4;

b)    g(3) > 9;

c) * _ff(fc) > [(3/2)*] + 2^fc - 2.

6.    * Wykaż, że dla dowolnego n liczba n lub 2n daje się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów.