7803160095

II. Logika i teoria zbiorów

1. Elementy logiki matematycznej

Przedmiotem logiki jest badanie związków między zdaniami. Przez zdanie rozumiemy w logice wyłącznie zdanie orzekające, które jest prawdziwe lub fałszywe. O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną 1, natomiast o zdaniu fałszywym mówimy, że ma ono wartość logiczną 0. Sama istota prawdy i fałszu nie należy do obszaru badań matematycznych.

Przykład 1. Zdanie

7r jest liczbą niewymierną jest prawdziwe, czyli ma wartość logiczną 1, natomiast zdanie

7r jest liczbą naturalną

jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną 0. Zdanie z języka potocznego

100 jest piękną liczbą

nie jest prawdziwe ani fałszywe, więc nie jest zdaniem w znaczeniu przyjętym w logice.

Zdania będziemy oznaczać małymi literami p, q, r,... W tekstach matematycznych występują najczęściej zdania złożone, połączone funktorami zdaniotwórczymi:

~ negacją,

V alternatywą,

A koniunkcją,

implikacją (wynikaniem),

<=> równoważnością.

Symbol	Nazrwa	Czytamy
~ p	negacja zdania p	nieprawda, że p
pV q	alternatywa zdań pi q	p lub q
pAq	koniunkcją zdań p i q	piq
p=>q	implikacja o poprzedniku p i następniku q	jeśli p, to q
p<=>q	równoważność zdań pi q	p wtedy i tylko wtedy, gdy q

W zależności od wartości logicznych zdań p i q określone powyżej zdania mają wartości logiczne określone w poniższych tabelach:

P	~ p
0	1
1	0

P	9		pAq	p^q	p&q
0	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1

Z powyższych tabel wynika, że alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdań p, bądź q jest prawdziwe; koniunkcją jest prawdziwa jedynie wtedy, gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Implikacja, w której poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy, jest fałszywa,.