1250463527

2

ważnych, ale zwykle trudnych do wyliczenia, wymagających pomysłowych sposobów, a zwłaszcza na kolejnym ćwiczeniu stosowania wzoru na całkowanie przez podstawianie.

Zamiast wyżej podanej całki będziemy liczyć jej kwadrat

I² = ^j e“^~dx^j (/ e^_J2"dy \ = JJ₂^e    dxdy.

Licząc będziemy korzystać z wzoru (1) na całkowanie przez podstawianie w sposób odwrotny niż zwykłe, „komplikując” (pozornie) wyrażenie, biorąc

f(x,y)=e-^-.

Będziemy starać się dobrać P tak, aby p(P) = R². W ten sposób prawa strona wzoru (1) będzie interesującą nas całką.

Podstawienie będzie polegać na zamianie współrzędnych biegunowych na kar-tezjańskie, a więc będzie dane wzorami

ip(r,0) = (x(r, 9), y(r, 6)), gdzie x(r, #) = r cos # i y = rsin6.

Łatwo wyliczyć jakobian podstawienia p

r(cos² # + sin² #) = r.

_/(    _ I x_r(r,9) xe(r, 6) I _ cos# —rsin#

^{r 1}' '    | y_r(r,9) yo(r,0) |    | sin# rcos#

Ponieważ p(P) ma być zbiorem wszystkich możliwych współrzędnych kar-tezjańskich, za P można wziąć zbiór wszystkich możliwych współrzędnych biegunowych, czyli chcielibyśmy przyjąć P — [0,oo) x [0,27t). Oczywiście, mamy p(P) C R² (nawet dla dowolnego P). Zawieranie przeciwne jest znane i łatwo się je uzasadnia. Dla dowolnej pary (x, y) € R² bierzemy r = \/x² + y². Liczbę # znajdujemy rozwiązując układ równań trygonometrycznych

cos#

x

yjx² + y¹ ’

sin#

y

y/x‘² + y²'

Z ogólnej teorii takich równań, która powinna być znana ze szkoły średniej (lub lepiej, z własności Darboux, która powinna być znana z podstawowego wykładu z analizy matematycznej), otrzymujemy, że ten układ równań ma rozwiązanie #, dla którego mamy p(r,9) — (x,y). To dowodzi równości <p(P) = R².

Podstawiając wszystkie powyższe ustalenia do wzoru (1) otrzymujemy

//₂^e_Ł^^_= JJ ⁶ (' ⁾*^{V (}' ^} ’ \r\drdO = jJ e~^ • \r\drdO.

Jest jeszcze drobne pytanie, czy te równości na pewno są prawdziwe.

Zauważmy, że jeżeli zamiast P weźmiemy P' = [0, oo) x [0, 47t), to właściwie wszystko, co do tej pory zostało powiedziane, pozostanie prawdziwe. Z drugiej strony, całka po prawej stronie powyższego wzoru dla P' (zamiast P) będzie dwa razy większa, a to raczej nie powinno mieć miejsca. Proponuję teraz ponowne przejrzenie powyższego tekstu w poszukiwaniu usterek, które mogą mieć wpływ na prawdziwość obliczeń.

Opisana wyżej sytuacja jest spowodowana tym, że nie sprawdziliśmy istotnego założenia, jakim jest różnowartościowość podstawienia ip. Na zbiorze P' przekształcenie p nie jest różnowartościowe, mamy 7r) = p{\, 37r) dla par (1,7r), (1,37t) € P'. Co więcej, tak jest również w wielu innych przypadkach.