1250463528

3

Przekształcenie ip też nie jest różnowartościowe na zbiorze P, mamy <£>(0,7r) = cp(0,7t/2) dla par (0,7r), (0,7t/2) e P.

Radą jest dalsze zmniejszenie zbioru P. Powinniśmy przyjąć, że P = (0, oo) x [0, 2tt), lub nawet P = (0, oo) x (0, 27t). Nietrudno sprawdzić, że w pierwszym przypadku <p{P) = R²\{(0,0)}. W drugim - <p(P) = {(#,?/) E R² : y ^ 0V:c < 0} jest płaszczyzną R² bez początku układu współrzędnych i dodatniej częścu osi x-ów.

2.2 Rozwiązanie zadania 2 z listy 8

Weźmy podstawienie

p(r, 9) = (x(r, 6), y(r, 9)), gdzie x(r,9) = rcosO i y = rsin9 oraz zbiór

P = (0, oo) x [0, 27t).

Zauważmy, że zachodzi wzór

<p(P) = P²\{(0,0)}.

Przystępujemy do obliczenia interesującej nas całki:

f [ e dxdy = f [    e dxdy = [ [ e ⁵ dxdy =

J JR²    J JR2\{(0,0)}    J Jip(P)

dr

1 Jf_p    . |_r| _drdg n jTjf e-i ■ r Mr = £ e~Ź ■ r ■ [£ de)

roo    (₄\ roo    _i |°°

= 7r / e 2 . 2r dr = tt e * dt = — 2ne 2    = 2tt.

Jo    Jo    I o

Uzasadnienie niektórych przejść:

(1)    całka (oznaczona) nie zależy od wartości funkcji całkowanej w pojedyńczym punkcie,

(2)    wynika z twierdzenia o całkowaniu przez podstawianie, x²(r, 9) to kwadrat wartości x(r, 9) podstawianej za x, korzystamy też z wzoru p'(r, 9) = r na jakobian podstawienia ip,

(3)    przejście od całki podwójnej do iterowanej, całkujemy po zbiorze, w którym r przyjmuje wartości dodatnie, z definicji podstawienia p wynika, że x²(r, 9) + y²M) = r²,

(4)    całkowanie przez podstawianie funkcji jednej zmiennej, podstawiane jest t(r) = r².

Z przeprowadzonych rachunków wynika, że

I =

II