140855685

20 Konrad Dramowicz

1.    identyfikacja wartości prawdopodobieństwa lub zmiennych losowych w modelu stochastycznym,

2.    zastosowanie zbioru liczb losowych do wyboru próby z tych rozkładów,

3.    powtarzanie procedury aż do osiągnięcia przybliżonych rozwiązań. Zasada metody Monte Carlo jest następująca: ⁶

gdy E_t, E₂, E_n są realizacjami pewnych prób, zaś p,, p₂ ..., p_n — od-

n

powiadającymi im prawdopodobieństwami realizacj, przy czym    Pi —1,

i=i

wówczas do określenia, który z wyników E^ E₂, ..., E_n realizuje się w trakcie danej rpóby bierzemy liczbę losową L o rozkładzie prostokątnym [0,1] i przeprowadzamy próbę.

Zdarzenie Ej zajdzie, jeśli L^pj, zdarzenie E₂ — jeśli p₁<L^p₁ + p₂, zdarzenie E₃ — jeśli p₁ + p₂<L^p₁ + p₂ + p₃,

V Pi <L^

J=i

zdarzenie Ej zajdzie, jeśli

i=i

Metodę Monte Carlo zilustrujemy na banalnym przykładzie, choć może to prowadzić do zbytniego uszczegółowienia jednego tylko aspektu modelowania.

Niech Ej, E₂, E₃ będą zdarzeniami:

E, — realizacja decyzji o migracji do miasta A,

E₂ — realizacja decyzji o migracji do miasta B,

E₃ — realizacja decyzji o migracji do miasta C,

natomiast pj, p₂, ..., p_n — odpowiednimi prawdopodobieństwami:

Pj —    prawdopodobieństwa    zdarzenia    Ej = 0,40    (transformowane    na    40)

p₂ —    prawdopodobieństwo    zdarzenia    E₂ = 0,35    (transformowane    na    35)

p₃ —    prawdopodobieństwo    zdarzenia    E₃ = 0,25    (transformowane    na    25)

Przypuśćmy, że symulujemy 10 zdarzeń Ej przy pomocy kolejnych 10 wygenerowanych dwucyfrowych liczb losowych L: 54, 49, 37, 42, 69, 80, 38, 20, 09, 31. Zgodnie z podaną zasadą, zdarzenie E_t zajdzie, gdy L^Cpj, a więc dla L = 37, 38, 20, 09, 31. Zdarzenie E₂ symulują liczby losowe spełniające nierówność p!<ĆL^Pi + p₂ czyli 40<L<75; są to liczby: 54, 49, 42, 69. Zdarzenie E₃ symulują liczby losowe większe niż 75. Tak więc w wyniku symulacji metodą Monte Carlo otrzymamy ciąg zdarzeń — migracji do miast B, B, A, B, B, C, A, A, A, A.

Opisana symulacja jest symulacją dyskretną⁷, której standardowa konwencja nosi nazwę „z dolnym kresem włącznie”. Lewostronna zbieżność dystrybuanty rozkładu prawdopodobieństw do prawdopodobieństwa jednostkowego spowodowana jest tym, że rozkład prostokątny określony jest na przedziale (0,000...—0,999...).

« F.F. Martin (ibid.)

⁷ Symulację cyfrową procesów ciągłych wykonuje się, aproksymując je procesami dyskretnymi bądź zastępując maszynę cyfrową maszyną analogową. W symulacji ciągłej stosuje się metody stałego przyrostu czasu, używając specjalnego języka DYNAMO do modelowania dynamiki systemów (modele Forrestera, Mea-dowsa, Hamiltona i innych).