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174 Travaux de TMońe den Nooibrc*

Si l’on ar — l/x+l/y-f 1/r, nous pouYons supposer quc x < y < j et on trouvc r < 3/x, d’oii x < 3/r.

Le nombrc naturel x n'admet donc qu’un nonibrt; fini de nleun distinctes. Une quelconque de ces valeurs ćtant fix<5e, on a 0<r—l/x — 1/y+l/r < 2/y, d’oii y<2:(r—l/x) et, i>our cbaque nombre x<3 (r, le nombre y n'admet qu'un nombre fini de Talem distinctes.

Le nombre z Mant dćterminć par lY-quali<m r = l/x-fl/y-f 1/s, lorsque x et y sont donnćs, on en conclut que pour tout nombre A_t, r l’ćqua-tion r — l/x+l/y+l/x n’a qu’un nombre fini (ou nul) de Solutions en nombre* naturels x, y, z.

Si l’on ar — l/x—1/y—1/s, on trouve r< 1 /x, d’ou x< 1/r, et x u'a<lniet que les Yaleurs naturelles < 1/r et pour chaque telle valenr le nombre positif l/x—r = 1/y-fl/r, comme un nombre A_t non nul n’a, eonune cYtait dćmontró plus haut, qu’un nombre fini de reprósentations sou8 la formę 1/y+l/s.

11 nous reste ćvidemment a esaminer le cas oii r = l/x+l/y—1/r et nouR pouvons supposer ici que x < y, d’od r < 2/x et x < 2/r, et on a r--l/x= 1/y—l/x, od r— l/x * 0, puisque, d’aprós 1’hypothise, r n’cst pas un A_x, et on en dćduit, comme plus haut, que (pour tout x naturel < 2/r) le nombre r—l/x n'a qu'un nombre fini dc reprósentations sous la formę 1/y—1/r.

Notre thćorfcme se trouve ainsi dćmontró.

Or, en ce qui concerne les nombres A,, il rósulto de 1'identitd l/» «= 1/n+l/ł—1/Jfc, qu’ils admcttcnt une infinitć de reprósentations sous la formo (1) pour * — 3. D'autre part on demontre sans peine que, poiir tout nombre naturel w donnć, le nombre 1/n, sauf les dćcnmpositious 1/n — 1/w + l/Ar— I/* (ou Jfc = 1,2,...) n’a qu’un nombrc fini de reprósen-tations sous la formę (1), ou t = 3.

Or, il existe des nombres non nula qui admcttcnt une infinitć de repróaentations sous la formę (1) pour * = 4, od x,, x„ x,, et x_t sont des nombres naturels distincts; on a par cxemple

1 *⁺*+l⁺*(*+l)

[pour Jk = 1,2,..

On petit- aussi dćmontrer que si * est un entier >2, tout nombre A, qui n’e«t pas un nombre At pour & < t— 2, n’a qu’un nombre fini de reprósentations sous la formę (1).

On dit qu’un ensemble E de nombres róels est denze dana un intervalle (a, 6) (od a<b) si, quels que soient les nombres róels c et d, tcls quo a < c< d < b, il existe au moins un nombrc x de E, tel que o< x< d. Un ensemble qui n’est pas dense dans aucun intcnralle est dit non dense dans aucun intcnalle ou plus court, non denst. Je dćmontrerai que pour tout » naturel Pensemble de tous les nombres A, est non dense. A cet effet, je dćmontrerai d’abord deux lcmmes.

Lkmmk 1. L'ensemble-somme d'un nombre fini d'enxrmblea non denne* de nombres rłels ext un ensemble non dense.

Dćinonstration. Soit E un ensemble non dense et a et b deux nombres rćols tels que a<b. II existe alors deux nombres rćels c et d tels que a <, c< d < b et qu’il n’existe aucun nombre x de E eonteuu entre c et d. En effet, si de tels nombres c et d n’cxistaiont pas, alors, eonformćmont a la dćfinition dc reusemble dense, Pensemble E serait demu* dans Tintenalle (a, b), contrnirement & rhypoth^so qu’il est non dense.

Soit nmintenant U, + E_t rensemble-somme de doux ensembles non ilenses E_x et E_t et soient a et b deux nombres rćels tels que a < b. ^ensemble E, ćtant non dense, il existe, comme nous venons de le dćmontrer, deux nombres rćels c, et d_x, tels qne a < o, < d_x <. b et qu'il n’exist« aucun nombre de E, contenu entre c, et </,. Or, comme rcuseinble E_t est non dense, il existe deux nombres rśels c, et d_t tels quc c, < r, < d_t < d, et qu’il n’existe aucun nombre x de E_t, tel que e_t<x< d_t. II en rćsulte qn’il n’existe aucun nombre x de E_x-f E_t tel que e_t< x< d_t et, conune a < c, < d_t < b, il s’en suit que 1’ensemble E_x-f E_t n’est pas dense dans l'intcrvalle (a,b). Cet intenalle pouvaut etre quelconque, on eonelut quc renseinble E_x -f E_t est non dense.

Nous avons ainsi dćmontrć que rensemble-somme de deux ensembles non denees dc nombres rtels est un ensemble non dense, et il en rśsulte tout de suitę par 1'induction que 1’ensemble-somme d’un nombre fini quelconque <l’enseinbles non denses de nombres róels est non dense. Le lemme 1 se trouve ainsi dćmontrć.

I.kmmk 2. Si E est un ensemble non dense de nombres rłels, l'en*emble H de tous les nombres x±\/n, ou x est un nombre de E et n ~ 1,2,..., est non dense.

D^monstration. 8oit (a, b), oii a < 5, un intcrvalle quelconque. L'ensemble E ćtant non dense, il existe un intervallc (e, d), oii a < e< d < b,

d— c

tel qu’il n^łexi8te aucun nombre r de E, oh c < x < d. Posons c, = e-\—

on aura c< c, < d_x< d.

d,

Pćsignons gćnóralement par E(h) la translation de 1’cnsemble E de longueur A le longde la droite. E{h) est donc 1’ensemble de tous les nombres J- + A, oii x est un nombre de E. Soit m le plus petit entier tel que rn > 3l(d—c). Nous prouverons que tout nombre y do 1’ensemble H qui est contenu dans l’intervalle (c,, <f,) appartient a un au moins des ensembles E( ± 1/n), oii n — 1, 2,..., m.