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(c) Si£ = <f (4, Tj) etaest un nombre initial (ou, en generał, une puissance de to), alors pour que l'on ait: C < a, il faut et il suffit que Ton ait en nieme temps: £ <C a et Y] < a.

Quant a l'elevation en puissance, on peut etablir un theoreme plus fort de celui de Cantor:

63    (7). Si k est un nombre fini et m — un nombre non-fini, on a: k. m C 2^m.

La condition imposee au nombre m dans l’hypothese de ce theoreme pourrait etre remplacee par la suivante: nt Z> k.

64    (7). metant un nombre Cardinal quelconque, on a: m O 2^m, c’est-a-dire: m <> 2^m, mais 2^m non- O m.

En termes de la theorie generale des ensembles, la pro-position 64 s’enonce ainsi:

65    (7). Aucun ensemble de puissance m ne peut etre decompose en 2^m ensembles disjonts non-vides.

Nous passons a quelques theoremes concernant les proprietćs des nombres K₀ et 2‘^s°.

66    (T). Si m 2¹\ alors on a: ni < K₀ et 2^,M < H₀ (m et 2^m fi-nis), ou bien on a: K₀ ni, 2^H° 2^m (et K₀ <12ⁱⁿ).

67 (7"). Pour aucun nombre m on n’a: N₀    2^m < 2¹S n

2²“^ł = 2^H«.

68    (7). Si N₀ < 2^m, on a: K₀ m et 2^kS° 2^m (donc K₀ < 2^m).

69    (7). Les conditions suivantes sont equivalentes:

(a) m est un nombre Cardinal non-fini; (b) K₀ 2^m; (c) 2²’ⁿ

est un nombre transfini; (d) 2^H,) < 2²”¹ •

Le th. 68 resulte d^łun lemme de M. K u r a t o w s k i ¹) et du th. 4. Le th. 69 complete le th. ¹ 124.57 des „Principia Matbematica” •

A cóte du th. 62, le theoreme suivant peut etre considere comme cas particulier du theoreme precite de Kónig:

70 (7). Si, pour un aleph rt quelconque, un ensemble de puissance a peut etre decompose en m ensembles disjoints de puissance plus petite que a, alors on a:a<a^m.

Voici deux consequences de 70 qui se rattachent a l’hy-pothese du continu:

1

V. A. T a r s k i, Fund. Math. 6 (1924), p. 94.