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190 Tntvnux Je Thtorie de* Nombre*

C, ,. Toni nombre pair pruł ćtre reprisenti d'une infiniti de maniłre* comme la diffbrence de deus nombre* premiers consicutifs.

Dćmonstration do 1’implicatlon C,-*C,,. Soit f,(x) = x,f_t(x) — x-f 2n(ounest. un nombre naturel domu'-). Comme (/,(!)/,(l),/,(2)/_t(2)) *= (2n-f 1,2(2-f 2n)) = 1, ił r&ulte do C, qu^łil cxiste uno infiniti de nom-bre» naturels x tels que x ot x-f 2» sont deux nombres premiera consicutifs, soit x*=p_k, x-f-2» = p_tł, (oii pi dlsigne lo i-lme nombre premier), d’oii 2n = p_k+t—p_k. Cola prouve quo C,-*C,, (cf. Hardy and Littlewood [10], Conjecture B).

C_l-t. m Mant un nombre naturel donni, U esinte 2wi nombres premiern consicutifs formant m couples de nombres jumeaus.

Dlmonst rat mn de 1’implication C,-*C_Iit. Soit

/«-»(*) «*+(2»)!<<-J),

/*<(*)“ *+(2m)!(»—l)+2 pour » — 1,2,..., n et

I’(r) - M*)U*)•••/*»(■») •

Soit p est nn nombre premier tol qne p\P(x) pour tafl, l,..., p — l. Comme /'(X) est nn polyndmo on x <le degrl 2m ob le coefficient do x^ł" est 1, d’apres lo thćor&me de Lagrange la eongruenee P(x) 0 (modp) a au plus 2w racines. Or, eonimo /'(x)    0 (modp) pour x = 0, 1,p— 1,

on on condut que p < 2m. Mai* /*(1) est lYidcmment un nombre impair ot comme plJ'(l), on trouYe p> 2. D’autre part, d'aprcs p < 2m on a p|(2m)! i pour i entier ot comme p|P(2), on troure p;2*", ce qui est im-possible. Les binómes/^*) (j = 1,2,..., 2m) satisfont donc a la eondition S et il rósulto de C, qu’il oxisto uno infiniti do nombres natnrels x tels que f/s) (j= 1,2,2m) sont des nombres premiera consicutifs, /<<*) “ Pk-H-i ponr j- 1,2,...,2*. On a donc P*₊*_,-= 2 pour i ■ 1,2,..., w et 1’implication C,-*C₁₄ se trouve dlmontrle.

On pout dlmontrer pareillemont qu’il oxi»to ponr tout m naturel •tm-fl nombres premiera consicutifs dont les 2m premier* et de mlme les 2»w demiers donnent m eouples de nombre* jumeaux.

V. Thlbault a dlmontrl [18] que si « > 1 termos d’une progression arithmltique do raison r sont dos nombres premiera > n, alors r est di-visible par tout nombre premier < u. Or, nous dlmontrerons que c, entralne la conalquence suivante:

C, ₄. Si r est un nombre naturel dirisible par tout nombre premier < ou n est Mn nombre naturel donni >1, il esiste une infiniti de systbne* de n nombres premiers ronsieutifs formant une proęression arithmitiąue de raison r.

Dlmonst rat ion de 1’implication C,-*C₁₄. Soit /,(x) = x-f,y pour i «= 0, 1,2,...» n— 1. S’il existait un nombre premier p tel que

PA¹)—f¹-%(¹) P^our 0, l, 2, l, il rttulterait du tWortme «le Łttgnuip que p < w. <lonc p|r. D’autre parł. on a

P i/«0)/i(l)»/.-.(l) = 1 (1 + r)(l + 2r)...(l + (i»—l)r)

et vu quc p|r on trouve p|l, ee qui est impossible. La condition 8 est donc Ratisfaite et. il rlsulte de C, qu’il existe une infinitl de nombres naturels x tels que les nombres f,[x) (i — 1,2,..., ») sont. des nombres premiers consleutifs. Nous avons ainsi dlmontrl que

En particulier, pour w «■ 3, il rlsulte de C,.₄ qu’il existe pour tout nombre naturel A une infinitl de nombres naturels k tels que p_4ł.,— p_k m. p_k+_t~Pk+1 = ⁶¹- I^{1 0,1} r^sulte qu¹il existe une infiniti de progressions arithmltiques formlcs de trois nombres premiero oonsócntifs. Or, d’aprvs L. E. Dick son ([61, p. 425) Moritz Cantor a Inond 1’hypothlM ([2]) que trois nombres premiero eonsleutifs dont aucnn n’est le nombre 3 ne pouvent pas former de progreuion arit limit ique. En 1955 A. Schinzel a remarqul que cette hyjiothlse est en dlfaut puisquc 47, 53 et 59 sont trois nombres premiera eonsleutifg formant une progression arithml-tique de raison 6¹. Parmiles nombres < 1000 on tn>uve plusieura telles progressions dont les premiero termes sont respeetivement 151, 167, 367, 557, 587, 601, 647, 727, 941, 971. Les nombres 199, 211 et 223 et pareil-lement les nombres 1499, 1511 et 1523 forment des progressions arithml-tiques de raison 12 eomposles de nombres premiero consleutifs et les nombres 251, 257, 263, 269 et 1741, 1747, 1753, 1759 forment des progressions arithmltiques de raison 6 eomposles chaeune de quatre numhrcs premiero consleutifs. D'aprls (',, (pour ¹»4) il existe une infiniti de telles progressions.

Nous dlduirnns maintenant de 1’hypothlse H la consląuenee suivante: (’,. a, b, c etant des nombres naturels tels que (fl, b) = (fl, c) = (5, c) = 1 et 2 abc, Vfquation ap—bq c a une infiniti dr Solutions en nombres pre-pniers p et q.

(Cette hypothlse a Itl Inonele par Flardy et Littlewood [10], p. 45, Ponjecture I)).

Dlmonst rat ion dc Pimplication II-»C,. a, b, e Itant des nombres naturels tels quo (a, b) = (a, c) ■ (b,c)    1 et 2 afte.il existe, on

le sait, des nombres naturels r et ¹ tels que ar— bs ~ c. Soit /,(x) ^ ft.r-ł- _r, /,(x) =    on a done /,(x)/_t(x) = aAx^ł+(ar-ł-!w).r-f rs.

S’il existait. un nombre premier p tel que p !/i(x)/,(x) pour tout entier x, on aurait (pour i = 0) p\rs, done (pour x •- ± 1) p|a5±(ar-f bs), d’o(l p\2ab et p|2(ar f 6»). Si Pon avait p » 2, on aurait, d’aprte p\rs, 2|r on bien 2,s. Si 2|r, on ne peut avoir 2|«, puisqu^,alors il viendrait 2|«r±bs, done 2|o6 et 2|c, eontrairement a (a6,e) = 1. Donc, si 21r, s est. impair

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[Cette reinarqoe fut fsite plus lit psr W. II. I.ond; voir R. D. Carmiehael, Solf oh primr numbrri, Ainer. Math. Monthlr 27 (1920), p. .1).