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178 Travaux de Tbforie den Nombre*

que jMiur tout entier n > 1 Je nombre 4/» est uil B_t. Cette bypothdse a ćtć y^rifióe pour tous les entier^{1 2} n lei² que 1 < n< 141649 (²).

.T’oserai aussi poaer 1’hypothfcse quc pour los entiers n > 1 tout nom-bre 5/» est un B_t. J’ai vAri£ić cette hypothitse pour 1 < » < 1000 •.

On ddmontre san² peineque pour n entier, tel quc 1 < » < 100 len nom-bres 6/n sont des Bj, et que pour los entiers m, tels que 2 < n < 100 les nombres 7/n sont des B,.

D’apr&² u nr hypothdse de A. 8chiiucel, quel que soit le norabre na-turel m dounć, il n’y a qu’un nombn² filii de nombres natunds » pour lesquels le nonibre mjn n’est pas un B%.

Pour les nombres B, on a le thćortono suivant du a J. Myeielski.

Thćorkmk 3. ² łtant un nombre naturę!, il n'eri²te aucune ²uite infinie croinganU formie de nombre² B$.

Dćmonst ration. Le thćor&me est dridemment vrai pour «=1. Soit inaintenant ² un nombre naturę 1 > 1 et suppoaons quc le thóorńme est vrai pour le nombre i—1. Admettons qu’il existe une suitę infinie crois-sante de nombres B,. 11 existe donc des nombres naturels z^"’, x^t2),..., z²,²⁰ (oii » ■» 1,2,...), tels que

1 1 111 1

'O    + jOi+f) ² •••+    + •••+ ^S)

pour u =1,2,... et nous pouYons supposer que aj³ < zf² < ... < jfi² pour n = 1,2,...

D’apr&s (4) et ² > 1 on a

* . 1    1 JL J_ JL • J_ i_

r²-> -^{:r    +    +} "•⁺ z<;>4²>⁺ Jp ⁺ •"⁺    > z²" ’

d’ob r[^m)< pour m — 1,2,...

I³s termes de la suitę infinie z²,"² (n = 1,2,...) peuYent donc prendre seulement un nombn² fini de Yaleurs distinetes, et il en rteulte Teiistence d’une suitę infinie croissante d’mdices u,,telle que z^,l“^2,o: jfi² pour k = 1,2,... r>’apri² (4) on a donc

1 1

x4-«^ł

pour k = 1,2,..., coutrairement a 1’hypothfcse que le thóorńme 3 out vrai pour le nombre ⁴— 1. Le thfor£me3 se (rouve aimii ddmontrć par 1'induction.

On dćduit sans peine du thiorime 3 qu’il existe pour tout nombre ⁴ naturel et tout nombre r^el positif b iui nombre r<Vl a< b tel que entre « et b il n’.v a aueun nombre Ii,.

3. Sommcs dc fractions primaires distinctes. Appelons nombres C, les sommes de ⁴ fractions primaires distinctes. Les anciens fijjyptiens connaissaient la proposition que tout nombre rationnel positif est une sonime d’un nombre fini de fractions primaires distinctes. Je donnerai iei la dćmonstration de cette proposition trouvde par mon ćldYe, A. Em-pacher, dćmonstration qui permct aussi de trouver pour cbaque nombre rationnel positif donnć sadfcomposition en fractions primaires distinctes⁴.

TnAoEitME 4. Tout nombrr rationnel ponitif est une sommr d'un nombre fini de fractions primaires distinctes.

Dćmonstration. Soit d’abord r un nombre rationnel positif < 1, r— mfn, oil wi et n sont des nombres naturels et m < n. Hoit k le plus

petit entier tel que km ^ n, nous aurons fc > 1 et (Jfc—l)m< n, — > j-,

W K

r/i

w

1 Ami — n m 1

- = —--. fci--- > 0_t alors, vu que (A:—1)m<i», le nombre

A Am    it k

sera rationnel

,    .    .mim,

m, ⁴=■ km = n sera naturel < m et le nombre--- = —

n k n.

dont le numćrateur est < m et le dćnnminateur h, = kn.

m 2

aurait — > -n k

et, comme (k—l)m<»,

Si le nombre m,/«, n’est pas un C_lt non⁴ pouvons proceder avec m,/⁴, comme nous avons proc&M aveo mfn, en determinant le plus petit nombre naturel Jt, tel que k, m, >«,. S’il ćtait Jt, < k, alors, vu que m 1 m, 1    1

i; ⁼ i ⁺ ir_l^>i ⁺ Ę’ °"

d’ob &m< m-fn, on aurait m-fw>2n, d’ou m > n, eoutrairement a 1’hypothise. On a donc Jt, > Jt. Si m,/», n’est pas un nombre C,, nous pourons proceder ainsi de suitę et on obtient des fractions dont les nu-meratetirs diminuent: m > m, > m, >... II en rfaulte qu’en rćpćtant notre proc&ić un nombre naturel eonYenable ⁴ K, m de fois, on obtient enfin

_m 1    |    l

une fraetion unitaire et on arrive a la dćcom)>o⁴ition — — - + — +...+ -—_f

n    k    k_l

ou k₉ k_tfk_$mml sont des nombrr⁴ naturels rroissant⁴. Nous avons ainsi

1

(•) Voir K. Oblatti, [Sur l'łquation diophanlitnn² 4/n ³ 1/²!+!/²,+1/jrJ, Ma-thraia 59 (1950), p. 30H 310. o& 1'hypothto² dr P. Krdó² mt dćmoutrfa pour 1 < n < 10612H, et L. A. Koaati, [$«JT equaxu>n² diofanUa 4/n = 1/ar,-f- l/²,-f1/²,], Bollotino drlla Unione Mathematica Italiana, Ser. 111, 9 (1954), p. 59-63, od ell© eat dćmoutrfo pour 106129 < n < 141 649. (A prteecit cette hypothtae ort vrrifi6o pour tou² a < 10². ▼oir I). G. Tergi. On a conjtcturf by Ktdó² • Strau², BIT II (1971), p. 212- 216).

2

[A prf²rnt eeito hypotb^ cat v^rifi^² pour toui² « < 10². voir G. Gentile,

3

SuU indeierminaUt 5/a l/sr+1/^ f 1/r, Airhiinrdr 1959, p. 222-223).

4

[La rofnn⁴ dlmonstration a bib donnie plus lot par II. E. Salzcr, Thr appro-rimaiion o] nttmberg as sums oj reeiprooals, A nur. M⁴th. Montly M (1947), p. 135-142, fl Talgorithror lui mt⁴mc par Pibonacei, Liber abaci cl J. J. Sylveatcr, On a poi ni-im tke tkeory oj rulęar fractions, Amcr. J. Malh. 3 (1880), p. 332-335, 388-339).