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204 Travaux de Thforie d« Nombre*

Le» fonctions p(x) et ,i(x) ćtant monotones, nous en concluons que le th&>-r£me 4 est vrai pour 1 < x < 132.

Cokollairk 1. p(x) < rt{x) pour 1 < x < 132.

La dćmonstration r&ralte dn lemme 1 et du thćordine 4.

Hardy et Littlewood ont ćnonod ([10], p. 54) 1’hypothóse que p(x) < .t(x) quel que soit le nombre x > 1.

Cokollairk 2. 8i X > 1, y > 1 et fi l'un au moins dat nombre■» x et y tst < 132, on a

s*(*+y) < j«(x)+j»(y) •

Dćmonstration. Sans nuire a la gćnćralitó nous poUYons supposer que x< y, 1 < x < 132. En vertu du thćordme 4 on a donc ę(x) c »(x). Or, en vertu du Lemme 1 on a, pour tout nombre y,

min(y,jt(x+y)-ji(y))< n(x).

Comme y > x > x(x+y)-*(y), on a »(x-f y)-n(y) < .i(x), c’est-k-dire *(*+Jf) < ^(*) + »(y), c. q. f. d.

II est & remarquer que E. Landau [12] a d&nontrć que pojir x suffi-samment grand* on a x(2x)< 2x(x).

Nous appliquerons maintenant l’hypoth6ae H a 1’ótude de la fonction

q(x).

C„. g(x) » g(x) pour x naturel*.

Dćmonst ration de H -»C„. D’»prt« le lemme 1 il auffit de prouver que g(x) > e(x). Dang ee but supposon* que pour x naturel donnć * *= q{x). D’aprta la dćfinition de p(x) il existe un entier y tel que 0 < y< x! et qne * «= y(x!, y-f x)—y(x!, y). Ćvidemment on a • < x et il existe # entiers eroissants a,, a_łta, oiJ 0 < a, < a, < X tels que (y+a<,x!)«= 1 pour i * 1,2, •••, i.

Soit MO ■» £-f a< pour i * 1,2,..., «,

f

p<*>- [Im-

<-i

Si p eat un nombre premier tel que p|/’(£) pour ( entiers, on a. d’aprte le thfor&me de Lagrange, p # < x, donc p|x! et, d’apr£s (y + a,. x\) ** 1,

(y+^a«,J>)"l pour « = 1,2,...,#, et comme P(y) =//(y-M«), <•«*!»

donnę (P(y),p)* i, eontrairement a p|i^ł(y).

La condition S est donc rempbe et d’apr£* II il existe unc infinitć de nombres naturel* £ tein que les nombre* (+at (i = 1,2,...,#) gont tous premiera. Comme 0 < a, < a, < x, il en rfaultc que x(£-fx)— n(0 > * *= p(x) pour une infiniM de nombres naturels £ et, vu la dćfinition

d© la fonction ę(x) cela donnę <>(x)    <>(x). L’implication H-.C,, se

trouve ainsi dćmontrde.

c„.,. e(i) = e(2) = i,    e(3)e(0) =» 2,    <>(7) ~ _e(8) = 3,

_c(9)-... = e(12)-4, e(13) = ... = e(16) « 5, p(l7) - ... = e(20) = 6, <>(21 )=...» e(26) - 7,    <>(27) = ... - ¹(30) = 8,    ¹(31) = <>(32) - 9,

q(33) =- ... - ¹(36) = 10, ¹(57) - ... = <>(60) = 15, ¹(95) - ... a p(100)

-    23.

C,_Łl est one cons<$quence immćdiate de C„ ct des thćorcmes 1, 2 ©t 3.

C_łŁl. L'hypothe¹e de Hardy et LiUleicood euirant laąuelle ¹(x) < rr(x) pour x naturel¹ > 1 iąuitaut d l'in4galiti

(•)    »(¹+¹) < ¹(x)-ł-:r(y) pour x>l,y>l.

Dćmonstration dc    LHnćgalitd (¹) entralne tout de

suitę l¹inćgalitć ¹(x) ^ n[x) (sanR avolr ręcours & rhypothtae II).

Supposons maintenant que e(x) < j,(x) pour x naturels > 1 et soicnt. x ct y deux nombres naturels > 1. Sans diminuer la gćućralitć du raison-nement nous ponvone supposcr qu© 1 < x < y. Comme ¹(x) < »(x), on a, d’apr&A C„, ¹(x) < ¹(x), donc d’aprta lc lemme 1, pour tout y, min(y,7i(x+y)-jT(x))<?r(x). Or, y s¹ x > :x(x-ł-y)-y, donc n(¹+y)—

—    »(y) < n(x), c’est-k-dire «(¹+y) < ¹(x) + :t(y), c. q. f. d.

II est intdressaut qu’on n© puisse dćmontrer par lc caleul ni la faussetń de Pbypothfcsc n ni celle de 1’hypothdee de Hardy-Littlewood sur la fonc-tion ¹(x). (Quant i cette dernifero, si l'inćgalitć ¹(x) > 2 avait lieu pour un x quelconque, on aurait lim(p_fc+I— p„) < oo). II est ccpendant possible

qu’on puisse trouYer des nombres x et y plus grands que 1 pour lesquel8 n(x-f y) >¹(x)+x(y), ee qui prouverait que 1’hypothdee H et l’hypoth£ee de Hardy-Littlewood sur la fonction ¹(x) ne peuvent pas itre simulta-nćmcnt Yraies ¹.

Hypolhese H, de W. Sierpiński. Si pour un nombre naturel n > 1 le¹ nombre¹ 1,2, 3,..., »¹ gont rangi^{1 1}ucce¹xitement en n ligne¹, n nombre¹ dan¹ chaąue Ugnę, alor¹ ehaque ligne contient au moin¹ un nombre premier.

La proposition que la deuxi&me ligne contient au moinA un nombre premier óquivaut 4videmment au thćordme de Tchebycheff que pour n naturels > 1 il existe entre n et 2n au moins'un nombre premier'.

La proposition que pour n > 9 chaeune des 9 premi&res ligne¹ contient au moius im nombre premier peut sans peinc etre dćduitc du thćo-rdme de II. Bretuch [1] d’aprte lequel pour x 18 il y a entre x et fx au

1

(LincompatibilM do om deui hypothów a #tć d#montr#o par D. Hensley aud I. Richard.. Prime¹ in inUrcal¹. Acta Ariłh. 23 (1974). p. 375-392].